Propriétés des polygones et du cercle

« Trapèze • Un trapèze est un quadrilatère dont 2 côtés opposés sont parallèles.

• La surface d'un trapèze vaut S=(a +c)x h/2 ou a et c sont les longueurs des 2 côtés parallèles eth est la longueur de la hauteur du trapèze (mesure de la distance entre les deux côtés parallèles).

a c • Son périmètre p vaut p=a + b+ c+ d.

Rectangle • Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits (90°).

a b b a • Sa surface est égale au produit de la largeur (a) par la longueur (b) S=a xb • Son périmètre p est égal à p= lil +lb • Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.

carré • Un carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux.

• Sa surface est égale à la longueur des a a a côtés élevée au carré S=a l • Son périmètre p est égal à p=4 a • Les diagonales d'un carré ont la même longueur (comme celles d'un rectangle) et sont perpendiculaires.

AUTRES POLYGONES (N > 4) •Surface (ou aire).

li n'existe pas de formule donnant l'aire d'un polygone quelconque.

En revanche, on peut calculer l'aire d'un polygone régulier en le divisant en triangles.

PENTAGONE (N = 5) • Un pentagone est un polygone à s côtés.

•Toutes les diagonales d'un pentagone ont la même longueur.

• Nombre d'or.

On peut calculer le nombre d'or à partir d'un pentagone régulier.

Le nombre d'or est égal à la longueur de la diagonale divisée par la longueur d'un côté.

Construction d'un pentagone et d'un décagone (n = JO) réguliers •Tracer un cerde C 1 de rayon r et de centre O.

•Tracer un diamètre du cerde.

Soit A et B les deux extrémités de ce diamètre.

Soit K le milieu du segment [AO].

• Tracer un cercle C 2 de centre K et de rayon r.

Il coupe le segment [AB) en un point M.

•A l'aide d'un compas, reporter dix fois la longueur OM sur le cercle C 1.

• Joindre les dix points pour obtenir un décagone régulier, et seulement un point sur deux pour obtenir un pentagone régulier convexe.

HEXAGONE (N=I).

• Un hexagone est un polygone à 6 côtés.

Construction d'un hexagone régulier • Construire un triangle équilatéral et son cercle circonscrit.

• La médiatrice de chaque côté coupe le cercle en 3 points.

• Les 6 sommets de l'hexagone correspondent à ces 3 points, plus les 3 sommets du triangle.

PENTAGllAllME • Une étoile à 5 branches est un pentagone régulier concave.

On l'appelle pentagramme.

Construction d'un pentagramme fi •Soit un pentagone régulier concave dont les sommets consécutifs sont A.

B, C, D et E : en reliant les sommets selon l'ordre ADBEC on obtient un pentagramme.

CERCLES, ELLIPSES ET PARABOLES Un cercle est une ligne courbe fermée sur elle même, plane et dont tous les points se trouvent à égale distance d'un point 0, le centre du cercle.

Rayon (r) : distance commune entre le centre et les points du cercle, matérialisée par une portion de droite dont une extrémité est le centre 0, l'autre étant un point du cercle.

Segment : portion de droite limitée à ses deux extrémités par la courbe du cercle.

Diamètre ( d) : segment passant par le centre O.

d= lr Cercle le cNtre 0 et• ,.,.,, r.

Circonférence (Q : longueur du cercle (ou périmètre de la surface délimitée par le cercle).

C=l 1tr Aire, A : surface délimitée par le cerde.

A=1t rl A périmètre égal, le cercle est la figure géométrique qui présente la plus grande aire.

mmm Une ellipse est, comme le cercle, une courbe plane fermée, mais telle que la somme des distances de tout point de cette courbe à deux points particuliers, les foyers (F et F1, est constante.

Axes : le segment AA', de plus grande longueur, est le grand axe ; le segment 88', de plus petite longueur, est le petit axe.

Périmètre, P : (voir formule sur la figure du fichier JPEG «ellipse •) Aire, A : A = 1tab lh!:f,,;J.Ull Une parabole est une courbe plane telle que chacun de ses points se trouve à égale distance d'une droite (D), B A c appelée directrice et d'un point F, appelé foyer, situé à l'extérieur de la droite.

,,.,.,,.

• foyer F et• '1redricr (D).

HM=MF x' y' y (D) 0 Î H i~ X p = it2(il2 + 192) - - v (•-b)2 2.2 '3·H''·IIJU Les cercles, les ellipses et les paraboles sont des coniques : chacune de ces différentes figures géométriques s'obtient par section d'un cône par un plan.

élipse parabole hyperbole Selon la position du plan par rapport à ce cône circulaire, la figure ainsi obtenue peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole (qui est donc également une conique).

l'ellipse devient un cercle lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe du cône.

Définition géométrique des coniques On peut définir une conique comme un ensemble de points dont les distances à une droite fixe (directrice) et à un point füte (foyer), sont dans un rapport constant Ce rapport, e, est appelé • excentricité » de la conique.

l:' excentricité est supérieure à 1 pour l'hyperbole, égale à 1 pour la parabole et inférieure à 1 pour l'ellipse.

excentricité e =.!.

=MF >1 a ME On obtient une hyperbole lorsque le plan est parallèle à l'axe du cône.

Formée de quatre arcs infinis symétriques, l'hyperbole peut se réduire à deux droites concourantes.

Sa particularité, parmi les coniques, est d'admettre deux asymptotes (droites dont les arcs de l'hyperbole se rapprochent indéfiniment sans les couper).. »