Comment généralise-t-on en mathématiques ?
Publié le 23/03/2004
Extrait du document
Il est classique
de concevoir la généralisation comme le passage de, quelques cas à tous les
cas de la même espèce. Cette démarche mentale intervient-elle en
mathématiques ?
On pourrait citer certains cas de généralisations de ce genre : ainsi c'est
après un nombre d'observations nécessairement limité que
PYTHAGORE énonça
que la somme des nombres impairs à partir de l'unité est toujours un carré
parfait. Mais si une généralisation de ce genre peut préparer les voies à la
recherche mathématique, elle ne constitue pas une opération proprement
mathématique : le mathématicien ne saurait s'en contenter et il n'est
satisfait que lorsqu'il a démontré la propriété générale constatée comme un
fait dans un grand nombre de cas.
Il n'en est pas de même du raisonnement par récurrence, dont le
mathématicien, d'après POINCARÉ, fait un si grand usage : il constitue un
passage de quelques cas à tous les cas, mais par un raisonnement rigoureux
qui ne laisse place à aucun doute.
Plus souvent encore, d'après GOBlOT, le mathématicien étend les lois qu'il a
établies en ramenant aux cas privilégiés, c'est-à-dire permettant une
démonstration facile, d'autres cas dans lesquels la démonstration est
impossible ou moins aisée : c'est ainsi que le géomètre, pour déterminer la
surface des figures planes, ramène le trapèze au triangle, le triangle au
parallélogramme, le parallélogramme au rectangle...
Mais il ne faudrait pas croire que la généralisation en mathématiques ne se
distingue pas de la généralisation expérimentale. Tandis que la
généralisation expérimentale est une extrapolation et va au-delà des
données, la généralisation mathématique reste rigoureusement dans le domaine
du donné et, par suite, n'expose à aucune erreur.
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