Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007 du sujet d'Amiens, Lille, Rouen, Paris, Créteil, Versailles Denis Vekemans * Exercice 1 1.

Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007 du sujet d'Amiens, Lille, Rouen, Paris, Créteil, Versailles Denis Vekemans * Exercice 1 1. Soient x, x + 1 et x + 2 les trois nombres naturels successifs dont la somme vaut 207. Dans ce cas, x + (x + 1) + (x + 2) = 3 × x + 3 = 207 puis 3 × x = 207 - 3 = 204 et x = 204 3 = 68. On vérifie que 68 + 69 + 70 = 207. 2. Soient x, x + 1 et x + 2 les trois nombres naturels successifs dont la somme vaut 329. Dans ce cas, x + (x + 1) + (x + 2) = 3 × x + 3 = 329 puis 3 × x = 329 - 3 = 326 et x = 326 3 = 108 + peut donc pas écrire 329 comme somme de trois entiers naturels successifs. 1 3 ? N. On ne / 3. "N est somme de trois entiers naturels consécutifs" équivaut à "N >= 3 est divisible par 3". o Soit N un entier naturel. Soient x, x + 1 et x + 2 les trois nombres naturels successifs dont la somme vaut N . Dans ce cas, x + (x + 1) + (x + 2) = 3 × x + 3 = N ou 3 × x + 3 = N . Dès lors, on déduit que (1) : "N >= 3" [en effet, x >= 0 donc 3 × x + 3 >= 3] et que (2) : "N est divisible par 3" [en effet, 3 × x est divisible par 3 et 3 est divisible par 3 donc, par somme, 3 × x + 3 est divisible par 3]. o Réciproquement, si N >= 3 est divisible par 3, on peut écrire N = 3 × ? avec ? >= 1 un entier naturel. Et, N = (? - 1) + ? + (? + 1) est somme de trois entiers naturels consécutifs ? - 1, ?, ? + 1. 4. N = 47d5 un nombre qui est somme de trois entiers naturels consécutifs. D'après la question précédente, cela induit que N = 47d5 est divisible par 3. Cependant, d'après le critère de divisibilité par 3, cela induit encore que 4 + 7 + d + 5 = 16 + d est divisible par 3 puis que d = 2 ou d = 5 ou d = 8. Les seules solutions sont donc 4725 = 1574 + 1575 + 1576 ; 4755 = 1584 + 1585 + 1586 ; et 4785 = 1594 + 1595 + 1596. Questions complémentaires. * Université du Littoral Côte d'Opale ; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1 CRPE Amiens, Lille, Rouen, Paris, Créteil, Versailles 2007 1. o Elève A : il procède par essais successifs organisés : 20+21+22 = 63, c'est trop ; 12+13+14 = 39, c'est insuffisant ; 13 + 14 + 15 = 42, c'est insuffisant ; 17 + 18 + 19 = 54, c'est trop ; 16 + 17 + 18 = 51, ça convient. Il ne commet pas d'erreur ni dans les calculs, ni dans la procédure. o Elève B : il utilise la division euclidienne pour estimer ce que valent "approximativement" chacun des trois nombres à additionner (ce qui dénote une bonne réflexion sur la notion d'ordre de grandeur) mais n'utilise pas la division euclidienne de façon experte (comme il pourrait le faire, par exemple, en passant de 51 = 3 × 17 à 51 = 17+17+17 puis à 51 = (17 - 1)+17+(17+1) = 16+17+18) ; ensuite, de 15 + 16 + 17 = 48 (qui est une somme de trois nombres entiers naturels consécutifs contenant le terme 17), il constate qu'en changeant le 15 en 18, il augmente la somme de 3 tout en conservant trois nombres entiers naturels consécutifs et qui lui permet de passer de 48 à 51 (ce qui montre que l'élève s'est bien approprié le problème et qu'il a pu gérer plusieurs contraintes simultanément : "le fait que les nombres à sommer doivent être consécutifs" et "le fait que la somme à atteindre est de 51"), ce qui ét...