DYNAMIQUE NON LINEAIRE ET CHAOS (Histoire)

« structurellement stable est un système qui conserve ses propriétés qualitatives essentielles lors d'une faibleperturbation.

C'est une stabilité globale du portrait de phase.

Les auteurs du concept ont démontré que l'immensemajorité des systèmes dynamiques à deux dimensions est structurellement stable.

Mais en 1960 Steven Smale adémontré que ce n'est plus le cas pour des dimensions supérieures à 2.

Comment retrouver alors des systèmesstructurellement stables ? Sous l'influence de l'oeuvre de Smale, le mathématicien soviétique Anosov, élève dePontryaguine, va axiomatiquement définir une catégorie générale de systèmes (systèmes d'Anosov) structurellementstables et va démontrer que ce sont des systèmes stochastiques au sens de Kolmogorov (K systèmes).

Ce quiprouve en passant que des systèmes hamiltoniens peuvent être structurellement stables.

Ces systèmes vérifientcertaines conditions qui sont en particulier vérifiées par les flots associé aux géodésiques sur les variétés à courburenégative.

C'est en quelque sorte une généralisation et une axiomatisation de ce système paradigmatique étudié parHadamard, Morse, Hopf, Hedlund et Krylov et qui constitue le coeur de la dynamique hyperbolique..

Notons enpassant que sous l'influence de l'école américaine le mathématicien français René Thom a entrepris avant 68 de fairede la stabilité structurelle le thème central de ses réflexions, publiant en 1972 « Stabilité structurelle etmorphogénèse » point de départ d'une spéculation sue les formes constituant la théorie des catastrophes.

De soncôté Steven Smale, reprenant les démarches de Poincaré et de Birkhoff met en place une approche topologique dessystèmes dynamiques qui aura une grande influence.

Il développe la théorie de la dynamique hyperbolique.

Il montrele rôle des structures homocliniques dans la stochasticité.

A vrai dire l'instabilité stochastique des vibrations nonlinéaires a été semble t il observée pour la première fois dans des expériences numériques en 1953 par Goward etHine dans le cadre de l'étude de l'instabilité des faisceaux de particules dans les accélérateurs.

Ils ont obtenu uncritère d'instabilité.

B.

Chirikov travaillant dans ce même domaine a fourni dès 1959 des évaluations analytiques etdes arguments en faveur du caractère stochastique de cette instabilité.

Ce dernier point de vue a été confirmé parla suite dans une série de travaux dont le compte rendu a paru dans la thèse de doctorat de Chirikov et unemonographie de son élève Zaslavsky (1969, 1970).

La thèse de Chirikov a eu un grand retentissement car il yprenait ouvertement le contrepied de l'opinion de physiciens renommés comme Landau ou Prigogine qui défendaientl'idée que la stochasticité n'apparaissait que dans les systèmes à très grand nombre de degrés de liberté.

Il estapparu que l'instabilité de systèmes simples est un cas particulier d'apparition de lois statistiques.

Le lien de celles-ciavec l'instabilité a été remarqué tout d'abord sur un exemple spécialement construit par Hedlund et Hopf, analysé endétail par Krylov et démontré rigoureusement dans des conditions très générales par Anosov et Sinai.

EffectivementYakob Sinai un élève de Kolmogorov, va prouver que certaines catégories de billards plans sont des systèmesd'Anosov et donc des K88 systèmes.

Publiée en 1970, cette démonstration, qui adapte en fait des techniquesintroduites par Hopf, fait sortir le problème de la stochasticité hors des mathématiques pures et inaugurevéritablement une ère d'étude du chaos dans les systèmes physiques.

L'académique transformation du boulangern'est plus le seul exemple de système mélangeant.

La démonstration de Sinai eut un grand retentissement.

Elledonne un véritable droit de cité dans la panoplie des conceptions de l'univers physique.

Cette démonstrationcouronne en quelque sorte les démarches de la physique non linéaire en s'appuyant sur les travaux desmathématiciens en particulier ceux de l'école de Kolmogorov.

Ce sont des physiciens occidentaux comme J.L.Lebowitz, O.

Penrose et J.

Ford qui vont dès le début des années 70 propager la bonne nouvelle du billard de Sinai.Ce que l'on appellera le « chaos » s'installe dans la pratique des physiciens et des biologistes.

Non sans une certainerésistance idéologique qui se manifeste dans la réticence des grandes revues de vulgarisation à publier un article surle sujet.

Il faudra attendre 1981 pour que Sinai publie dans la revue russe « Priroda » son article fameux « L'aléatoiredu non aléatoire ».

Tous ces développements ont été anticipés et préparés par les travaux, entre les deux guerres,des radioélectriciens sur l'engendrement et la stabilité des oscillations non linéaires, sujet majeur lié audéveloppement de la radio.

Ce sont les travaux de Balthazar van der Pol, auteur d'une célèbre équation pour lesoscillations non linéaires dans des systèmes dissipatifs et Alexandre Andronov et son école, définissant les autooscillations comme la manifestation des cycles limites de Poincaré.

Ceci marque la réintroduction du frottement dansla mécanique.

L'étude de l'équation de van der Pol en 1945 par des mathématiciens comme Cartwright et Littlewooda révélé l'étonnante complexité de ses solutions.

Bien des difficultés de communication entre physiciens etmathématiciens, viendra de ce que les premiers développent une culture d'ingénieurs centrée de façon réaliste surles systèmes dissipatifs alors que les seconds se concentrent sur les systèmes hamiltoniens.

L'école d'Andronovcependant assurera le lien de par son emploi systématique des méthodes mathématiques de Poincaré et Lyapounov.C'est le cas dans l'étude des bifurcations.

C'est typiquement le cas dans l'introduction de la notion de stabilitéstructurelle, stabilité globale topologique des trajectoires de phase.

En 1937 parait le livre fondateur d'Andronov,Vitt et Khaikin, « Théorie des vibrations » qui demeure un classique des systèmes dynamiques pour les physiciens.

Apartir de 1970 est créée à Gorki une école biannuelle de dynamique non linéaire et de chaos propageant largement laculture non linéaire chez les physiciens et mathématiciens soviétiques, avec à peu près dix ans d'avance surl'occident.

En occident la dynamique non linéaire s'introduit à travers la thermodynamique de non-équilibre dans lessystèmes ouverts.

L'école de Bruxelles (Prigogine) étudie ainsi l'apparition de structures stationnaires, ditesstructures dissipatives, dans des systèmes ouverts dans des conditions de non équilibre et de non linéarité.

Cecicontribue à consolider le paradigme de l'auto-organisation spatiale déjà présent dans les travaux pionniers sur lamorphogénèse de Türing en 1954.

Ces travaux soulignent la complémentarité de l'approche thermodynamique (ànombreuses variables) et de l'approche dynamique (à peu de variables).

Les rapports entre les courantsthermodynamiques, cinétiques et dynamiques, exprimés à travers différentes écoles (Ecole de Bruxelles,Synergétique) sont complexes et souvent peu explicités.

Cette confluence d'intérêt se manifeste dans la créationdu concept commun d'auto organisation.

89 La théorie des systèmes dynamiques va aussi profiter de l'extraordinairedéveloppement des idées probabilistes dans l'après deuxième guerre mondiale, où les besoins destélécommunications et de l'informatique naissante conduisent à l'élaboration de la théorie des processus aléatoireset de la théorie de l'information.

Là aussi la position prééminente de l'école soviétique est remarquable.

C'étaitl'époque où les probabilistes apprenaient le russe pour pouvoir consulter les volumes de la mémorable collection àcouverture blanche de « Théorie des probabilités et statistique mathématique » publiée à Moscou par les Editions. »