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Les mathématiques ne sont-elles qu'un instrument des autres sciences ?

Publié le 17/01/2022

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B) Pourtant, nous ne sommes pas condamnés au royaume des opinions où les borgnes sont rois. Les mathématiques en sont la preuve: les énoncés mathématiques sont vraies, ils sont accompagnés de certitude, parce qu'ils peuvent être démontrés, et ils sont fermes en raison de leur caractère certain. C) Les autres n'ont pas les mêmes méthodes que les mathématiques: celles-ci ne sont pas empiriques mais reposent sur des démonstrations a priori, tandis que les autres sciences partent des données expérimentales. Néanmoins, elles cherchent tout d'abord à produire des énoncés possédant les caractères précédents des vérités mathématiques. En outre, les vérités mathématiques sont déduites d'autres énoncés et, ultimement, des axiomes de la théorie mathématique. Les autres sciences cherchent également à imiter cette structure déductive, caractéristique des vérités mathématiques, en se donnant une forme AXIOMATIQUE : Système dans lequel sont explicitées les propositions non démontrées et les termes non définis à partir desquels on construit par voie de déduction toutes les autres propositions d'une science logique ou mathématique. Le système des axiomes définissant une théorie mathématique doit être complet (nécessaire et suffisant) et consistant (non contradictoire). B. Les mathématiques, langue inscrite dans la nature. Cette fascination pour la rigueur des mathématiques ne suffit pourtant pas à elle seule à justifier a priori une prééminence des sciences de l'abstrait sur celles du concret.

► Que sont donc ces «autres sciences« que le sujet oppose aux mathématiques? Sciences de la nature (physique, chimie, biologie), voire sciences de l'homme, elles ont en commun le fait de trouver leurs objets d'étude dans le monde sensible. Le premier trait par lequel les mathématiques ne sont pas une science comme les autres est le caractère abstrait de ses objets. Nul n'a jamais rencontré une racine carrée, pas plus qu'un nombre entier ou un ensemble. Comment, donc, imaginer qu'une discipline qui ne parle pas d'objets concrets puisse apporter plus qu'une aide aux autres sciences? Mais comment cette aide même est-elle possible, s'il n'existe pas quelque communauté entre les objets des mathématiques et ceux des autres sciences?

« comprises, ou que l'on porte des jugements à la légère et sans fondement."Arithmétique et géométrie sont les seules sciences qui traitent d'un objet simple et pur et qui n'admettent riend'incertain : leur travail ne consiste qu'à tirer des conséquences par voie de déduction rationnelle.

Leurs erreurs nepeuvent procéder que de l'étourderie.

Elles doivent par conséquent constituer l'idéal des sciences pour leur rigueur,leur clarté et leur certitude. 2.

La subordination des mathématiques dans la science moderne. A.

Les lois de la nature ne sont pas des vérités mathématiques. Cette conception, cependant, est battue en brèche par le développement des sciences physiques, qui conquièrentpar leur succès même leur autonomie vis-à-vis du discours philosophique et du modèle de la mathesis universalis (lamathématique universelle de Descartes).

La loi de l'attraction universelle de Newton propose certes une expressionmathématique de la régularité des phénomènes, mais ne constitue en rien une explication au sens cartésien duterme.

Les corps s'attirent en proportion de leurs masses et en proportion inverse du carré de leur distance, maiscela ne peut en aucun cas être tiré déductivement de quelque évidence que ce soit.

Les lois de la nature ne sontpas analytiques, mais synthétiques, c'est-à-dire qu'il ne serait pas logiquement absurde que ces lois soientdifférentes.

Elles ne sont pas a priori (connaissables rationnellement sur le mode mathématique), mais leur véritéapparaît a posteriori, dans leur confrontation à l'expérience. B.

Les mathématiques fournissent des connaissances incomplètes. Du point de vue de la science, les connaissances analytiques, pures tautologies, ne nous apprennent rien.

Dès lorsqu'on estime que la science a pour but d'établir sur le monde des connaissances synthétiques, c'est-à-dire devéritables informations, les mathématiques, tout en restant instrument de formalisation, peuvent-elles encoreprétendre être une science? Kant, dans la Critique de la raison pure, destitue les mathématiques de leur rôle demodèle (elles sont remplacées en cela par la physique) mais les «sauve» toutefois de la relégation dans l'insignifiant.Pour cela, il les distingue de la logique (analytique dans ses principes et sa méthode) en soulignant que les principesdes mathématiques, tout en étant a priori, sont pour leur part synthétiques.

Fondées, comme toutes les sciences,sur des principes synthétiques a priori, les mathématiques ne peuvent cependant fournir que des connaissancesincomplètes: « Penser un objet et connaître un objet, ce n'est donc pas la même chose.

[...] Tous les conceptsmathématiques ne sont pas des connaissances par eux-mêmes, à moins de supposer qu'il y a des choses qui nepeuvent être représentées en nous que suivant la forme de cette intuition sensible pure.» « Les jugements mathématiques sont tous synthétiques.

Cetteproposition semble avoir échappé jusqu'ici à l'observation de tousceux qui ont analysé la raison humaine, et elle paraît même enopposition avec toutes leurs suppositions ; elle est pourtantincontestablement certaine, et elle a une grande importance parses résultats.

En effet, comme on trouvait que les raisonnementsdes mathématiques procédaient tous suivant le principe decontradiction (ainsi que l'exige la nature de toute certitudeapodictique), on se persuadait que leurs principes devaient êtreconnus aussi à l'aide du principe de contradiction, en quoi l'on setrompait ; car si le principe de contradiction peut nous faireadmettre une proposition synthétique, ce ne peut être qu'autantqu'on présuppose une autre proposition synthétique, d'où ellepuisse être tirée, mais en elle-même elle n'en saurait dériver.Il faut remarquer d'abord que les propositions proprementmathématiques sont toujours des jugements a priori et nonempiriques, puisqu'elles impliquent une nécessité qui ne peut êtretirée de l'expérience.

Si l'on conteste cela, je restreindrai alorsmon assertion aux mathématiques pures, dont la seule idéecomporte qu'elles ne contiennent point de connaissancesempiriques, mais seulement de connaissances pures a priori.

»KANT. D'après la tradition rationaliste antérieure à Kant, les propositions mathématiques ne viennent pas, et nedépendent pas, de l'expérience car on y considère qu'aucun fait ne peut les corriger.

Kant n'est pas l'initiateurde l'idée que les mathématiques sont a priori, mais on lui doit d'avoir répandu l'affirmation que les propositionsmathématiques sont logiquement (et non psychologiquement ni chronologiquement) antérieures à l'expériencequi les présuppose.

Plus personnelle chez Kant est la raison donnée : à l'origine des mathématiques on trouveles intuitions de l'espace et du temps, l'intuition de l'espace est à l'origine de la géométrie, celle du temps, àl'origine de l'arithmétique.

Or l'espace et le temps (c'est bien de l'espace et du temps physiques qu'il s'agit) nesont pas des êtres naturels indépendants de l'humanité, mais des formes pures a priori de la sensibilité.

C'estdonc le caractère a priori de l'espace et du temps qui explique le caractère a priori des mathématiques.Conscient du progrès des mathématiques, Kant ne pouvait pas croire que leurs jugements soient destautologies, des énoncés analytiques, le dédoublement sans fin d'une identité où le prédicat d'une propositionne fait que déployer une partie du contenu du sujet.

Les jugements mathématiques sont synthétiques, le. »

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