L'ÉVOLUTION DE LA NOTION DE VERITE EN MATHÉMATIQUES ?

: La suite fera comprendre qu'on emploie aujourd'hui indifféremment les deux termes. Les anciens mathématiciens tenaient les axiomes pour plus « évidents » que les postulats. « Chaque théorème se trouve ainsi relié, par un rapport nécessaire, aux propositions dont il se déduit comme conséquence. » Ainsi Leibniz pouvait-il écrire : « les Grecs ont raisonné avec toute la justesse possible dans les mathématiques, et ils ont laissé au genre humain des modèles de l'art de démontrer. » Le théorème : vérité de fait ou vérité de raison ? On comprend donc que, jusqu'au XIXe siècle, on ait considéré un théorème de géométrie à la fois comme un renseignement sur les choses et comme une construction de l'esprit, à la fois comme une loi de physique et comme une règle issue de l'esprit, à la fois comme une vérité de fait et comme une vérité de raison. Les géométries non euclidiennes. On sait que c'est en essayant de démontrer le postulat des parallèles (et de le transformer par conséquent en théorème) que les mathématiciens s'aperçurent, après moult tentatives infructueuses, que des géométries non euclidiennes étaient possibles. Dans l'une, on postulera (même si cela ne signifie rien pour l'architecte qui veut construire une maison à notre échelle) que par un point extérieur à une droite, il peut passer une infinité de non-sécantes (Lobatchevski, 1826); dans l'autre, au contraire, que par un tel point, on ne peut faire passer aucune parallèle à la droite considérée (Riemann). Les mathématiques sont une science hypothético-déductive.