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Mathématiques et expérience ?

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Stuart MILL, tout en accordant qu'il n'y a « pas de choses réelles exactement conformes aux définitions géométriques », ont admis que les notions mathématiques étaient « de simples copies », mais « des copies partielles » des objets donnés dans l'expérience sensible, résultant de ce que l'homme a le pouvoir de « faire attention à une partie seulement » de ses perceptions, de parler, par exemple, d'une ligne « comme si » elle n'avait pas de largeur, bien qu'il lui soit impossible de se faire une image d'une telle ligne. Ici comme dans toutes ses inter-prétations, l'empirisme réduit donc le rôle de l'esprit à un rôle d'enregistrement purement passif des données extérieures. 2° Mais une telle conception ne saurait être acceptée, a) Elle fausse le rôle de l'expérience dans la formation de la pensée mathématique. Ici, pas plus qu'ailleurs, il ne saurait être question d'une expérience passive. En réalité, ce sont des techniques, donc une expérience active, qui ont été à l'origine des diverses branches des Mathématiques : la Géométrie est née de l'arpentage, l'Arithmétique du calcul pour les besoins du commerce, etc. - b) D'autre part, si l'expérience a été le point de départ indispensable, la pensée mathématique est allée en s'en écartant de plus en plus. Elle a reconstruit les notions tirées du sensible sur le plan purement intelligible, et alors, comme le dit H. POINCARE (La Valeur de la science, p. 28), « on a décintré, pour ainsi dire ; on a rejeté la représentation grossière qui avait momentanément servi d'appui ; il n'est plus resté que la construction elle-même, irréprochable aux yeux du logicien ». Il arrive même que le mathématicien crée des formes purement idéales, dont on découvre seulement ensuite que « certains aspects de la réalité expérimentale viennent s'y mouler ».

« Mathématique et expérience. Il y a quatre grandes solutions classiques de ce problème : la théorie rationaliste qui tient les concepts mathématiquespour des réalités du monde intelligible (de Platon à Descartes) ; la théorie empiriste qui lie les mathématiques àl'expérience ; la théorie kantienne pour qui les mathématiques sont impliquées dans l'expérience humaine parce qu'elle est humaine ; la théorie nominaliste qui fait des notions mathématiques de l'arbitraire pur et de cette science une sciencehypothético-déductive. 1 — Les idées mathématiques structurent le réel. C'est la position du rationalisme platonicien qui avait hérité de Pythagore cette formule : « Les nombres gouvernent le monde », Descartes défend cette thèse et ses disciples font demême (Malebranche, Spinoza, Leibniz). Parmi les modernes, certains philosophes des sciences soutiennent que l'accorddes mathématiques avec l'expérience est la preuve de l'intelligibilité de l'Univers. 2 — Les objets mathématiques sont issus de l'expérience. La thèse empiriste a été soutenue par tous les sensualistes et notamment par John Stuart Mill au XIXe siècle : elle se fonde sur le fait que l'expérience nous fournit des imagesmathématiques (ligne de l'horizon, cercle de la lune ou des pupilles, etc.), sur le fait que l'histoire des mathématiquesmontre qu'elles furent d'abord pratiques et techniques, et enfin sur le fait que les problèmes les plus ardus desmathématiques ont eu un point de départ concret (Exemple : calcul des probabilités et jeux de hasard). 3 — L'expérience est déjà mathématisée. Selon Kant, les sciences mathématiques expriment les rapports a priori qui constituent l'intuition pure. Cette formule doit être bien comprise. Pour Kant, la conscience percevante est structurée,c'est-à-dire qu'elle a des formes a priori ; nous percevons en fonction de ces exigences internes de la sensibilité qui sontau nombre de deux : l'espace et le temps. L'espace et le temps ne sont donc pas des « milieux » extérieurs, ils n'existentque pour la perception humaine, ce sont les formes a priori de la conscience humaine dans son acte de percevoir, c'est-à-dire, en termes kantiens, dans son intuition sensible.Les mathématiques sont fondées sur ces formes a priori elles-mêmes : la géométrie est la science de l'espace pur etl'arithmétique est la science du nombre qui est lui-même le schème de l'intuition pure du temps. On peut donc dire : «L'objet de la science mathématique est la structure de l'intuition pure ». Comme cette intuition est perception active duréel, et comme l'espace et le temps sont sur le plan de l'expérience (puisque l'expérience n'est pas autre chose quel'ensemble des perceptions humaines), il n'est pas étonnant que les mathématiques paraissent sortir de l'expérience ous'y ré-insérer avec facilité. 4 — Dans la science mathématique définie comme hypothético-déductive, il n'y a pas de vérité. C'est la conception nominaliste ou de ce qu'on appelle l'axiomatique. Dans la formule ci-dessus, le mot « vérité » est mis pour « réalité » (etc'est pourquoi la discussion de cette conception est dans le chapitre Mathématiques et expérience).On avait cru {Leibniz, Kant, etc.) que certaines propositions mathématiques étaient des évidences soit expérimentales(par deux points il ne passe qu'une droite), soit de la logique (si A = B, A + C = B + C). Les logiciens modernes ont montréque toutes les propositions de base des mathématiques, qu'elles soient axiomes, postulats ou définitions étaient sommetoute arbitraires, puisqu'on pouvait construire des géométries cohérentes avec d'autres propositions de base. C'était parconséquent faire de toutes ces propositions autant de « postulats ». Ce dernier mot étant difficile à manipuler, on employaà sa place le mot axiome (d'où axiomatique, axiomatisation, etc.).Science hypothético-déductive, les mathématiques reposeraient donc sur des systèmes d'axiomes posés arbitrairement(donc purement hypothétiques) à partir desquels on construit une déduction cohérente. La vérité des mathématiques esttoute dans la rigueur de la déduction et évidemment pas dans la valeur de réalité. C'est dans ce sens qu'il fautcomprendre la définition de B. Russell : « Les mathématiques sont une science où l'on ne sait jamais de quoi on parle, ni sice qu'on dit est vrai ». Formule discutable selon deux axes : celui de la valeur et du succès des mathématiquesappliquées, et celui de la parfaite intelligibilité des propositions de base puisqu'elles semblent librement posées parl'intelligence. L'intelligence est-elle tout à fait libre cependant ? La réussite pratique des mathématiques montre que laréalité expérimentale garde des relations secrètes avec les formes mathématiques. Là est la difficulté de l'axiomatique ; laraison ne peut pas inventer n'importe quoi et la réalité semble d'autre part suivre les combinaisons mathématiquesélaborées dans le pur possible, comme s'il y avait une parenté entre l'univers et l'esprit.Certes, les mathématiques, dans leurs progrès propres, ne cherchent jamais quelles applications pratiques pourraients'ensuivre ; les mathématiciens poursuivent leurs travaux dans un champ a priori épuré des applications techniques,industrielles et même physiques.Cependant, les mathématiques accumulent des modèles, des types de raisonnement, des pensées..., qui permettent àdes non-mathématiciens (physiciens, économistes, sociologues, psychologues, etc.) de trouver lorsqu'ils en ont besoin,dans l'arsenal ainsi constitué, des formules ou des structures qui autorisent d'aller soudain beaucoup plus loin dans leursrecherches propres.La mathématisation du réel, base plus ou moins avouée de toute recherche scientifique appliquée, ne peut se poursuivreque grâce aux progrès des mathématiques. »

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