Pourquoi les mathématiques sont-elles vraies ? Pourquoi les mathématiques sont-elles partout ?

« sible de déduir e autr e chose que cette conclusion.

C'est le critèr e attes tant qu'il y a eu démo nstration.

La vérité obtenue est également universelle et étern elle, au sens où la liaison entre prémisses et conclusion est toujour s, partout, valable, que lles que soient les don nées de la réali té extér ieur e.

Ce qui est logique, puisqu'il n'es t pas fait réf érence à la réalité extérieure.

Toutes ces caractéris tiques consti­ tue nt, selon Leibni z, le propr e des vérités de raiso n.

Elles existent en log ique et en mathémat iques, et se dist inguent des vérités de fait.

Pourquoi les mat hémati ques sont -elles ? a.

Le modèl e ma théma tique Du fait de leur objet, axiomes et déf initions clairement expli cités, les mathématiq ues constituent, selon l'argument de Des cartes, les plus claires et les plus simpl es de toutes les sciences, à la dif fére nce de scienc es de la natur e qui doive nt com poser ave c la co mplexité et l'immen sité des éléme nts du réel, jamais totalement épuisés.

Du fait de sa procéd ure, la démons tration, les vérités four nies sont nécessair es et cer­ taine s, à la différe nce de l'argumen tation, par exem ple, qui n'aboutit pas à ce type de certitude.

On com prend pour quoi, dans l'opinion commune aussi bien que pour les sava nts et phil osophes, les mathéma tiques sont un modèle de vérité.

b.

L'outil démons trat if C'es t aussi de leur applic ation au réel exté rieur que les mathéma tiques tirent leur va leur reconnu e.

Mais le terme de démo nstration ne convient au sens strict qu'aux sciences formelles.

Pour les sciences de la natur e ou les sciences humaines, on parle de preu ve ou de vérificat ion expéri mentale.

Mais les procédés logiques et démons­ tratif s y sont utilisés.

Bacon le mo ntre qu and il décrit « l'ex périence cruciale».

Il s'a­ git de cons truire une expé rience à partir du principe logique de contr adiction, c'est-à -dire de telle sorte que son résultat, en conf irmant une hypothèse, élimine toutes les hypo thèses contr aires, concu rrentes et incom patibles avec ce rés ultat.

Peut-on criti uer les mat hémati ues ? a.

Co ncernant la démons tration La présence de l'axi ome oblige à con céder que toute vérité n'est pas démo ntrée ni peut-ê tre démo ntrable, alors que la démons trati on est cens ée être le critère de. »