Que connaissent les mathématiques ?

« SUPPLEMENT: LA NATURE DE L'OBJET MATHEMATIQUE Et d'abord: de quoi parlent-ils? Quelle est la nature de l'objet mathématique? 1) Un être idéal... Lorsqu'un géomètre fait une démonstration sur, par exemple, un cercle, il appuie sa démonstration par une figure, un dessin.

Mais sadémonstration ne porte pas sur ce dessin.

Pour que son raisonnement ait une valeur générale, il doit porter sur le "cercle en soi", surl'idée de cercle, pas sur le cercle qu'il a dessiné. Si on veut trouver le rayon d'un cercle dont on connaît la superficie, il y a deux manières de procéder. 1) Soit on dessine un cercle qui ait la superficie requise et on mesure son rayon: c'est la méthode empirique, approximative (le cerclen'aura jamais la superficie requise, on mesure le rayon avec une certaine marge d'erreur, etc...), qui vaudra pour ce cercle-ci, paspour un autre. 2) Soit on construit l'idée de cercle dans sa tête, et on cherche le rapport qui peut exister entre rayon et superficie (S = pi R²).

Cecalcul aura une valeur générale (valable pour tous les cercles) et sera exact.

Finalement, pour le géomètre, il n'y a qu'un seul cercle,c'est l'idée de cercle qui contient en elle tous les cercles possibles, c'est un cercle sans diamètre précis, mais qui contient tous lesdiamètres possibles.

Le diamètre n'est pas autre chose qu'un rapport avec la circonférence. On peut donc dire que l'objet mathématique est un être idéal ; même si le géomètre trace des figures pour illustrer son raisonnement, il ne raisonne pas d'après ce qu'il voit sur cette figure.

La figure sensible du cercle n'est pas le vrai cercle.

Si l'on y regarde de prèsd'ailleurs, le cercle que je peux tracer, même au compas, n'est jamais tout à fait sphérique.

Le cercle n'existe vraiment comme cercle qu'en idée. Cf.

le texte suivant de Platon Ils (les géomètres) se servent de figures visibles et ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point àelles qu'ils pensent, mais à d'autres auxquelles celles-ci ressemblent.

Par exemple c'est du carré en soi, dela diagonale en soi qu'ils raisonnent, et non de la diagonale telle qu'ils la tracent, et il faut en dire autant detoutes les autres figures.

Toutes ces figures qu'ils modèlent ou dessinent, qui portent des ombres etproduisent des images dans l'eau, il les emploient comme si c'étaient aussi des images, pour arriver à voirces objets supérieurs qu'on n'aperçoit que par la pensée. Platon République, VI, 510c-510e Sens du texte: opposer au cercle que l'on dessine, le vrai cercle, celui sur lequel porte la démonstration, etdont le premier n'est que le reflet lointain, sensible. Conclusion: retenir que les mathématiques sont le domaine du raisonnement pur.

On commence par ne pastenir compte de ce qu'on voit ( élimination de l'intuition sensible ), pour ne plus considérer que l'idée abstraite.

C'est-à-dire que le géomètre n'a pas le droit de se servir de ce qu'il peut voir sur le dessin qu'iltrace: il doit tout démontrer, même ce qui paraît "évident". 2) ...mais réel Mais que les êtres mathématiques (nombres, figures...) soient des idées ne veut pas dire qu'ils ne sont que des productions de l'esprit,qu'on peut les changer à son gré.

Les êtres mathématiques ont ceci de particulier que tout en étant des "idées", ils n'ont rien depsychologique ou de subjectif. Le paradoxe, c'est que alors même qu'on ne les voit jamais, qu'on ne les rencontre jamais dans le monde réel, ils n'en sont pas moinsréels... Exemple: on rencontre bien trois arbres, mais pas le nombre trois: on rencontre des arbres! Comment peut-on dire que ces idées sont douées de réalité? Et bien, par exemple, si j'affirme que "la dixième décimale de pi est un nombre impair", il suffit de faire le calcul pour vérifier si c'estvrai ou faux. Si j'affirme que " la dix-milliardème décimale de pi est un nombre impair", même si personne, aucun ordinateur au monde ne l'aencore calculé, cette proposition est pourtant dès maintenant, soit vraie, soit fausse.

Simplement je l'ignore. Quel est le sens de cet exemple? C'est que le mathématicien, dans son travail, découvre progressivement une réalité préexistante, il n'invente rien..

De tout temps, la dixième ou dix-milliardème décimale de pi était ce qu'elle est, même si personne n'en savait rien.

En ce sens, les objets mathématiques sont doués de réalité: leurs caractéristiques et leur existence ne dépendent en rien de l'esprithumain qui les conçoit (on ne peut pas dire n'importe quoi à leur sujet).

Ils existent avant nous, sans nous. C'est pourquoi tout mathématicien est un platonicien: il parle d'une réalité des Idées .

A tel point que Platon voyait dans les mathématiques une introduction à la dialectique ( République , livres VI et VII): elles nous apprennent qu'il n'y a que les Idées qui aient de réalité.

On dit même qu'au fronton de son école il aurait fait gravé la devise "Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre". Conclusion: les êtres mathématiques sont donc des idées mais douées de réalité.

Elles sont mêmes en un sens plus réelles que cequ'on désigne couramment comme le réel: elles sont inaltérables, éternelles, alors que dans le monde sensible, tout finit par disparaîtreou passe dans son contraire (le chaud devient froid, le vivant devient mort, etc...).. »