TPE SUR LES CONIQUES

« Si e = 1 on a une parabole .

Si e > 1 on a une hyperbole.

Cette expression n'est pas la seule équation décrivant une conique .

On peut également donner une équation polaire , c'est -à-dire une équation donnant la distance MF en fonction de l'angle 8 que fait MF avec un axe particulier.

Pour cela, plaçons nous dans un repère orthonormé de centre F (F, r, 8) où r mesure la distance du point M au foyer F (r=FM) et 8 est l'angle que fait la droite (FM) avec un axe de référence passant par F.

On note 80 l 'angle que fait l'axe focal avec l'axe de référence.

d étant toujours la distance AM/AF = MH/d On a par ailleurs : AM = AF-MF = AF-r AF = dfcos(8 - 80 ) et MH = r/ e de F à la droite directrice D, A étant le point d'intersection de la droite FM avec la droite directrice, le théorème de Thalès nous permet d'écrire : ce qui permet d'écrire : AM/AF= MH/d (AF-r) / AF = M H / d 1 - r/ AF = rfed 1-(r.cos(8-8 0)/d ) = rfe d et donne finalement : r = p / (1 +e.cos (8-8 0) (où p = e.d est le paramètre de la conique ).

Remarquons qu'il n'existe pas de définition du cercle par foyer et par directrice .

On peut cependant remarquer que si p = r et si etend vers o, l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r.

Jusqu 'à présent on a considéré que F n ' appartenait pas à la droite D : on est dans le cas des coniques propres .

Lorsque F appartient effectivement à la droite D, on est alors dans le cas des coniques dégénérées .

DÉFINITION COMME ENSEMBLE DE POINTS (BI-FOCALE) Nou s avons déjà re m a rqué qu'ellipse et hyperbole possèdent un centre de symétrie (contrairement à la parabol e).

Ceci permet de donner une seconde définition , appelée définition bifocale de l'ellipse et de l'hyperbole : c'est l'ensemble des points M du plan qui sont centre d'un cercle C passant par un point donné F et tangent à un autre cercle C' de centre F'.

C' est le cercle directeur de r ayon 2a, et FF'= 2c Par hypothèse 2c " 2a (F tf: C') Selon que c a, on a respectivement une ellipse ou une hyperbole .

• ca, alors F est exté rieur au c ercle C' e t la courbe est le lieu des points M tel que : 1 MF-MF'I = 2a (hyperbole).

l'hyperbole obtenue est composée de deux parties convexes et connexes : MF-MF'=2a MF'-MF =2a a est appelé demi-grand axe respectivemen t de l'ellipse ou de l'hyperbol e.

Définition bifocale de l 'ellipse : M 1F1+M1F2 = M,F 1+M2F1 = 2a Définition b ifocale de l'hyperbole : 1 M1F1 -M1F21 = 1 M,F 1 -M1F21 = 2a Le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin (XIX' siècle) a démontré l'équivalence entre les deux définition s métriques des coniques (à partir des loyers et de l'excentricité ) et leur définition géométrique à partir de l 'intersection d'un plan avec un cône (théorème de Dandelin ).

Les développements mathématiques de cette démonstration seraient un peu longs à aborder ici et on se contente de mentionner l'existence de cette relation entre les diffé rentes définitions des coniques.

DÉFINITION ANALYTIQUE Une définition plus « moderne » des coniques peut être donnée à partir d'une approche analytique.

Cette définition est très utile puisqu 'elle permet de faire facilement des calculs sur les coordonnée s (x, y) du point M appartenant à une conique si on connaît les caractéristiques de celle -ci.

Cette défin ition exprime le fait qu'une conique est une courbe algébrique du deuxième degré, c 'est-à-dire que les coordonnées cartésiennes x et y des points appartenant à la conique sont solutions d 'une équation polynomiale du seconde degré : a.x2+b.x.y+c.y2+d.x+e.y+f=O Au moin s un des trois coefficients a, b ou c est non nul et l'expression de l'équation dépend du repère utilisé .

On parle d'équation réduite lorsque le repère choisit permet d 'obtenir la forme la plus simple de l'équation.

Cette définition englobe tous les cas de dé généresce nce et permet d'affirmer que les coniques sont les sections planes d e quadriques.

ÉQUATIONS CARTÉSIENNES RÉDUITES Dans un repère orthonorm é d'origine 0 ( milieu de FF') et admettant l'axe focal FF' comme axe des absci sses et l'axe non focal comme axe des ordonnées, les équation réduites des ellipses et des hyperbol es prennent les formes suivantes .

Ellipse (x2fa2> + ( y2/ b2 ) = 1 En posant c = v(a2-b2 ) on aFF '= 2c et e =cfa La droite directrice D a pour équation x= a'fc Notons que lorsque a= bon obtient l' équa tion du cercle d e centre 0 et de rayon R =a = b : x'+ y' = R' On peut égaleme nt donn er une repr ésentation paramétrique de l'ellipse en fonction de l'angle 8 que fait la droite OM avec l 'axe des abscisses : x= a .cos8 y= b.sin8 8E [0;2n [ Dans le cas où a=b=R on a bien la représe ntation p ara m é triqu e du cercle de centre 0 et de rayon R : x = Rco s8 y= Rsin 8 8E [O; 2Jt( Hyperbole (x'/ a')-(y'fb ') = • 1 On a SS' = 2a et comme dans le cas d e l'ellipse FF'=2c, e =cf a et la droit e directri ce D a pour équatio n x= a'/c Les asymptot es (c'es t-à-dire les droites vers lesquelles les deux branches de la courbe tendent à l'infini) ont pour équation y= ( b /a)x et y= -(b/a)x Lorsque a = b (soit e = v2 ) l'hyperbole est dite équilatère, c'est-à-dire que les asymptote s sont perpendiculaire s.

On peut égaleme nt donner une représentat ion paramétrique de l'hyperbole : x= a.ch 8 y= b.sh8 8E!R Parabole Dans le cas de la parabole l'équat ion réduite de la conique est obtenue dans le repère d 'origineS (sommet de la parabole) et admettant l'axe focal comme axe des abscisses .

l'équation de la parabole s'écrit alors : y'=2px Où p est le paramètre de la parabole et F a pour coordonnées ( p /2; 0) La droite direct rice D a pour équation x= -p/2 Notons que si l'axe focal est pris comme axe des ordonn é es, l'équation d e la parabole s'écrit a lors: x'=2 py Fa pour coordonnée s (O ; p /2) e t la droite directr ice D a pour équation v= -p/2 .

L es coniques présentent de nombreu ses propriétés rem arquables qui perm etten t notamment de construire point à point les différentes courbes.

Bien que très intéres santes, il serait long et fastidieux de faire le tour de toute s ces propriétés.

Arrêton s-nous cependant sur un théorème important et sur quelques propriétés des tangente s.

THÉORtME DE PASCAL Si on prend six points sur une conique (décompo sée ou non), que l'on note A , B , C.

A', B ' etC' et que l'on note F l 'inter section de BC' et CB', G l 'intersect ion d e CA' et AC', H l ' intersection de AB' et BA', alors les poin ts F, G, H sont alignés.

Cet importa nt résulta t projectif est connu sou s le nom de Théorème de Pascal.

Il permet de construire point par point la conique passant par cinq points donnés A , B, C , A' et B'.

TAN~ENTE Tangente à une parabole En chaque point M d'une parabole il existe une droite tangente .

Celle-ci est la bissectrice de l'angle formé par MF e t la parall è le à l 'axe.

L a ta n gente inte rcepte l'axe foca l en un point T.

Si H ' est le p ro j eté orthogo nal de M sur l'axe focal , alors le somme t S de la par abole est le milieu du segment.

Illustration du théorème de Pascal B Tangente à une conique à centre (ellipse, hyperbole) En chaque point M d ' une conique à centre il existe une tangente .

Celle-ci est la bissectrice de l 'angle géométrique FMF ' (bissectrice extérieure dans le cas de l'ellip se, bissect rice intérieure dans le cas de l'hyperbole ).

On ne peut mener deux tangentes distinctes à la conique (MT et MT') qu'à pa rtir d 'un point M extérieur à la courbe et défini par la relation MF>e.MH Sur la conique elle-même (MF=e.MH ), il y a u ne tangente unique.

Pour un point M intérieur à la courbe (MF. »