TPE SUR LES CONIQUES

« Si e = 1 on a une parabole .

Si e > 1 on a une hyperbole.

Cette expression n'est pas la seule équation décrivant une conique .

On peut également donner une équation polaire , c'est-à-dire une équation donnant la distance MF en fonction de l'angle 8 que fait MF avec un axe particulier.

Pour cela, plaçons nous dans un repère orthonormé de centre F (F, r, 8) où r mesure la distance du point M au foyer F (I'=FM) et 8 est l'angle que fait la droite (FM) avec un axe de référence passant par F.

On note 80 l'angle que fait l'axe focal avec l'axe de référence .

d étant toujours la distance AM/AF = MH/d On a par ailleurs : AM= AF-MF = AF-r AF = d /cos(8-8 0 ) et MH = rj e de F à la droite directrice D, A étant le point d'intersection de la droite FM avec la droite directrice , le théorème de Thal ès nous permet d'écrire : ce qui permet d'écrire : AM/AF= MH/d ( AF- r) /AF = MH/ d 1-r/AF=r / ed 1-(r.cos(0-8 0)/d) = r jed et donne finalement : r = p / (1 +e.cos(8-8 0) (où p = e.d est le paramètre de la conique).

Remarquons qu'il n'existe pas de définition du cercle par foyer et par directrice .

On peut cependant remarquer que si p = r et si e tend vers 0, l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r.

Jusqu'à présent on a considéré que F n ' appartenait pas à la droite D : on est dans le cas des coniques propres.

Lorsque F appartient effectivement à la droite D, on est alors dans le cas des coniques dégénérées.

DÉFINIT ION COMM E E NSEMB LE DE PO INTS (B I-F OCALE) Nous avons déjà remarqué qu'ellipse et hyperbole possèdent un centre de symétrie (contrairement à la parabole).

Ceci permet de donner une seconde définition, appelée définition bifocale de l'ellipse et de l'hyperbole : c'est l 'ensemble des points M du plan qui sont centre d'un cercle C passan t par un point donné F et tangent à un autre cercle C' de centre F'.

C' est le cercle directeur de rayon 2a, et FF'= 2c Par hypothèse 2c " 2a (F 'le C') Selon que ca, on a respective ment une ellipse ou une hyperbole.

• ca, alors Fest extérieur au cercle C' et la courbe est le lie u des points M tel que : IMF-MF 'I = 2a (hyperbole ).

L'hyperbole obtenue est composée de deux parties convexes et connexes : MF- MF' = 2a MF'- MF= 2a a est appelé demi-grand axe respectivement de l'ellipse ou de l'hyperbole .

Définition bifocale de l'ellipse : M1F1+ M1F2 = M,F 1+M,F 1 = 2a Définition bifocale de l'hyperbole : 1 M1F1 -M,F 2 1 = 1 M,F 1 -M1F21 = 2a Le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin (XIX' siècle) a démontré l'équivalence entre les deux définition s métriques des coniques (à partir des foyers et de l'excentricité) et leur définition géométrique à partir de l'intersection d 'un plan avec un cône (théorème de Dandelin ).

Les développements mathématiques de cette démonstration seraient un peu longs à aborder ici et on se contente de mentionner l'exis tence de cette relation entre les différentes définition s des coniques .

D ÉFINITION ANAL YTIQUE Une définition plus « moderne » des coniques peut être donnée à partir d'une approche analytique.

Cette définition est très utile puisqu'elle permet de faire facilem ent des calculs sur les coordonnées (x, y) du point M appartenant à une conique si on connaît les caractéristiques de celle-ci.

Cette définition exprime le fait qu'une conique est une courbe algébrique du deuxième degré, c'est-à-dire que les coordonnées cartésiennes x et y des points appartenant à la conique sont solutions d'une équation polynomiale du seconde degré : a.x2+b.x.y+c.y 2+d.x+e .y+f=O Au moins un des trois coefficients a, b ou c est non nul et l'expression de l'équation dépend du repère utilisé .

On parle d'équation réduite lorsque le repère choisit permet d'obtenir la forme la plus simple de l'équation .

Cette définition englobe tous les cas de dégénére scence et permet d'affirmer que les coniques sont les sections plane s de quadriques.

ÉQUATIONS CARTÉSIENNES R ÉDUITES Dans un repère orthonormé d'origine 0 (milieu de FF') et admettant l'axe focal FF' comme axe des abscisse s et l'axe non focal comme axe des ordonnées , les équation réduites des ellipses et des hyperbol es prennent les forme s suivantes .

Ellipse (x'fa '1 + (y'fb ') = 1 En posant c = /(a'-b') on a FF' = 2c et e =cfa La droite directrice Da pour équation x= a 2/c Notons que lorsque a = b on obtient l'équation du cercle de centre 0 e t d e rayon R = a = b : x' +y' = R' On peut également donner une représentation paramétrique de l'ellipse en fonction de l'angle 8 que fait la droite OM avec l'axe des abscisses : x= a.cos 8 y= b.sin 8 8 E (O; 2n:( Dans le cas où a=b=R on a bien la représentation paramétrique du cercle de centre 0 et de rayon R : x= Rcos8 y= Rsin e 8 E (O; 2n:( Hyperbo le (x'fa ')-(y'/b ') = '1 On a SS' = 2a et comme dans le cas de l'ellipse FF'=2c, e =cf a et la droite directrice Da pour équation x= a 2/c Les asymptotes (c'es t-à-dire les droites vers lesquelle s les deux branches de la courbe tendent à l'infini) ont pour équation y= (b/a)x et y= -(b/a)x Lorsque a = b (soit e = / 2 ) l'hyperbole est dite équilatère , c'est-à-dire que les asymptotes sont perpendiculaires .

On peut également donner une représentation paramétrique de l'hyperbole : x= a.ch8 y= b.sh8 8E9l Parabole Dans le cas de la parabole l'équation réduite de la conique est obtenue dans le repère d'origineS (sommet de la parabole ) et admettant l'axe focal comme axe des abscisses.

L'équation de la parabole s'écrit alors : y ' =2px Où p est le paramètre de la parabole et Fa pour coordonnées (p /2; O ) La droite directrice D a pour équation x= -p /2 Notons que si l'axe focal est pris comme axe des ordonnées , l'équation de la parabole s'écr it alors : x2=2py Fa pour coordonnées (O ; p/2) et la droite directrice D a pour équation y= -p /2.

Les coniques présentent de nombreuses propriétés remarquables qui permettent notamment de construire point à point les différentes courbes .

Bien que très intéressantes , il serait long et fastidieux de faire le tour de toute s ces propriétés.

Arrêtons -nous cependant sur un théorème important et sur quelque s propriétés des tangentes .

THÉORÈME D E PASCAL Si on prend six points sur une conique (décompos ée ou non), que l'on note A, B , C.

A', B ' etC' et que l'on note F l ' intersection de BC' et CB', G l'intersection de CA' et AC', H l ' inte rsect ion de AB' et BA', alor s les points F, G , H sont alignés .

Cet important résultat projectif est connu sous le nom de Théor ème de Pascal.

Il permet de construire point par point la conique passant par cinq points donnés A, 8, (, A ' et 8'.

T A N GENTE Tangente à une parabole En chaque point M d' une parabole il existe une droite tangente .

Celle -ci est la bissectrice de l'angle formé par MF et la parallèle à l'axe.

La tangente intercepte l'axe focal en un point T.

Si H' est le projeté orthogonal de M sur l'axe focal, alors le sommet S de la parabole est le milieu du segment.

Illustration du théorème de Pascal Les trois points A' d'intersection sont B alignés.

La droite que C' B' Tangente à une conique à centre (ellipse , hyperbole) En chaque point M d ' une conique à centre il existe une tangente .

Celle-ci est la bissectrice de l'ang le géométrique FMF ' (bissectrice extérieure dans le cas de l'ellipse , bissectrice intérieure dans le cas de l'hyperbole) .

On ne peut mener deux tangentes distinctes à la conique (MT et MT') qu'à partir d'un point M extérieur à la courbe et défini par la relation MF>e.M H Sur la conique elle-même (MF=e .MH), il y a une tangente unique .

Pour un point M intérieur à la courbe (MF. »