Chapitre 6-Continuité_cours T spécialité

« CONTINUITÉ D’UNE FONCTION I. C ONTI NU I TÉ 1.

FONCTIONS CONTINUES Définition: Soit 𝒇 une fonction définie sur un intervalle I. 𝒇 est dite continue en un réel 𝒂 de I, si 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂). 𝒙→𝒂 𝒇 est dite continue sur I si elle est continue en tout réel 𝒂 de I. Remarque : f est continue sur I signifie que l’on peut tracer la courbe de f sur I « sans lever le crayon ». Exemples : La fonction partie entière E n’est pas continue sur ℝ. Soit n∊ℤ.

Pour tout réel x∊[n ; n+1[ , on a : E(x) = n. 𝑥 2 −1 Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = pour x ≠ -1 et g(-1) = -2. 𝑥+1 g est continue sur ℝ (on parle de prolongement par continuité). Remarque : Les fonctions usuelles (inverse, racine carrée, carré …), polynômes, rationnelles et toute fonction obtenue par opération ou composée de celles-ci sont continues sur leurs ensembles de définition respectifs. Propriété(admise) : Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Remarque : La réciproque est fausse. Contre-exemple : la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0, mais elle est continue en 0. 2.

THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES Théorème (admis): Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b].

On note m le minimum de f sur [a ; b] et M le maximum de f sur [a ; b]. Pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c de [a ; b] tel que f(c) = k. Interprétation graphique : Soit A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) deux points de Cf. Pour tout réel k de [m ; M], la droite d’équation y = k coupe Cf en au moins un point sur [a ; b]. Autrement dit dans ce cas, l’équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b]. Exemple : On donne le tableau de variation suivant : L’équation f(x) = -1 admet trois solutions dans ℝ. Corollaire : Si f est continue sur [a ; b] et strictement monotone sur [a ; b] et si le réel k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x) = k admet une solution unique dans [a ; b]. Exercice : On considère l’équation (E) : x3 + x2 – x + 1 = 0. 1.

Démontrer que (E) admet une unique solution dans ℝ. 2.

Par balayage à la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,01 près de cette solution. 3.

Algorithmique : Approcher une solution d’une équation f(x) = k par dichotomie. Algorithme pour approcher la solution de l’équation f(x) = k dans [a ; b] après avoir prouvé qu’elle existe et est unique : Saisir les bornes a et b Saisir un entier naturel n (on souhaite encadrer k avec une amplitude de 10-n) Tant que b – a > 10-n 𝑎+𝑏 m prend la valeur 2 si f(a)×f(m) ≤.... »