Correction du devoir maison

« b. De l’étape n à l’étape n+1, l’aire est augmentée de celle des C n triangles équilatéraux de côté u n+1 donc : a n +1 − a n= C n× 2 ( )un+1 × 3 4 =3×4 n−1 × 2       1 3n × 3 4 =3× 4n −1 9n × 3 4 = 3 3 2×9 n −1      4 9 ñ a n+1 − a n= 3 12 n −1      4 9 . (1 point) c. Soit nÃ1, on pose t n=a n+1 − a n= 3 12 n −1      4 9 ý0, ainsi tn +1 tn = 4 9 et ( )tn est une suite géométrique de raison 4 9 et de premier terme t 1= 3 12 . Ce qui implique : pour tout nÃ2, ∑ i=1 n −1 ai+1 − a i= ∑ i=1 n −1 ti= 3 12 1− n−1     4 9 1− 4 9 = 3 12       1− n −1       4 9 × 9 5 = 3 3 20       1− n −1       4 9 (1 point) De plus, a n−a n−1 + a n−1 − a n−2 +...+ a 2−a 1= a n−a 1 (0,5 point) Ce qui implique : pour tout nÃ2, a n−a 1= 3 3 20       1− n −1       4 9 ñ a n= 3 3 20       1− n −1       4 9 + a 1 = 3 3 20       1− n −1       4 9 + 3 4 (1 point) d. a 50= 3 3 20       1− 49       4 9 + 3 4 ó 0,693 (0,5 point). »