Corrigé Ds commun

« 03/12/2025 1er Spé DS commun n°2 Correction Exercice 1 QCM ( 2 points) Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer la (ou les) bonne(s) réponse(s).

On écrira sur sa copie le numéro de la question et, à côté, la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les ) affirmation(s) exacte(s).

Aucune justification n’est demandée. 1.

On considère la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 3𝑥 − 9 définie sur a.

La fonction 𝒇 est dérivable en 2. b.

𝑓 ′ (0) = −9 c.

𝒇(𝟒) = 𝒇′(𝟒) 2.

On considère une fonction 𝑓 définie et dérivable sur ℝ.

On note 𝒞𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans un repère.

La tangente à 𝒞𝑓 au point d’abscisse 2 est la droite 𝑇 d’équation réduire 𝑦 = −3𝑥 + 5. a.

La courbe passe par le point de coordonnées (−3 ; 5). b.

𝒇′(𝟐) = −𝟑 c.

𝑓 ′ (−3) = 2 3.

On note 𝑔 la fonction racine carrée et 𝒞𝑔 la courbe de 𝑔 dans un repère.

On note, de plus, 𝑇 la tangente à 𝒞𝑔 au point d’abscisse 4. a.

La fonction 𝑔 est dérivable en 0. b.

Pour tout réel 𝒂 > 𝟎, 𝒈′ (𝒂) > 𝟎. 𝟏 c.

L’équation réduite de 𝑻 est 𝒚 = 𝟒 𝒙 + 𝟏. 4.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe 𝒞f d’une fonction f ainsi que sa tangente T au point A d’abscisse 4. a.

L’équation réduite de 𝑇 est 𝑦 = −𝑥 + 2 2 b.

𝑓 ′ (4) = c.

𝒇 ′ (𝟒) 3 𝟑 𝟐 = Exercice 2 (3 points) 1 Soit la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .

On note 𝑓′ la fonction dérivée de 𝑓. −2−ℎ 1.

a.

Montrer que le taux de variation de 𝑓 entre 1 et 1 + ℎ est : (1+ℎ)², avec ℎ > 0. Soit ℎ un réel strictement positif Le taux de variation de la fonction 𝑓 entre 1 et 1 + ℎ est définie par : 𝑓(1+ℎ)−𝑓(1) ℎ = = = 1 (1+ℎ)2 −1 ℎ 1−(1+ℎ)2 (1+ℎ)2 ℎ 1−1−2ℎ−ℎ 2 ℎ(1+ℎ)2 03/12/2025 DS commun n°2 = 1er Spé −ℎ 2 −2ℎ ℎ(1+ℎ)2 −2−ℎ = (1+ℎ)² b.

Montrer que 𝑓 est dérivable en 1 et préciser son nombre dérivé. lim −2−ℎ ℎ→0 (1+ℎ)² = −2 1 = −2 −2 étant un nombre réel fini, 𝑓 est dérivable en 1 et 𝑓′(1) = −2. 2.

Calculer sa fonction dérivée 𝑓′(𝑥) sur ]0 ; +∞[. 𝑓 est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme inverse de fonctions dérivables 𝑣(𝑥) = 𝑥² 𝑣 ′ (𝑥) = 2𝑥 Donc 𝑓′(𝑥)= −2𝑥 𝑥4 = −2 𝑥3 . Exercice 3 (3 points) Calculer les dérivées des fonctions suivantes en précisant le domaine de.... »