Cours ses: Équations différentielles Math

« Équations différentielles Math 111 29 janvier 2007 Table des matières 1 Généralités 1.1 Qu’est-ce qu’une équation différentielle ? 1.2 D’autres exemples .

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. 1.3 Conditions initiales .

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. 1.4 Représentation graphique .

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. 1.5 Exemples .

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. 1.6 Méthode d’Euler .

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. 1.7 Le théorème d’existence et d’unicité .

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. 2.3 Exemples .

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. 2.4 Dessins .

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. 3.2 Méthode générale de résolution 3.3 Pièges .

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. 3.4 Résolution des exemples .

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. 3.5 Dessins .

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. constante .

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. . . . . . 16 16 16 17 18 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Équations différentielles linéaires d’ordre 1 4.1 Définition .

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. 4.2 Résolution de l’équation homogène .

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. 4.3 Résolution de l’équation quand on a une solution particulière 4.4 Comment trouver une solution particulière : la variation de la 4.5 Autres exemples .

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. 5 Étude géométrique 20 5.1 Barrières .

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20 5.2 Explosion des solutions .

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21 6 Équation différentielles linéaires d’ordre 6.1 L’équation différentielle homogène .

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. 6.2 Exemple avec second membre .

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. 6.3 Exercices .

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. 1 2 à coefficients .

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. constants 22 .

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24 1 Généralités Qu’est-ce qu’une équation ? C’est une égalité comportant une (ou plusieurs) inconnue(s) : “Résoudre l’équation 2x + 3 = 0”. Résoudre l’équation, c’est chercher toutes les valeurs de l’inconnue qui satisfont l’égalité. Dans la plupart des équations que vous avez rencontrées juqu’à présent, les inconnues étaient des nombres.

Une des difficultés des équations différentielles, c’est que les inconnues vont être des fonctions. 1.1 Qu’est-ce qu’une équation différentielle ? (cf Hubbard et West, p2) Commençons par l’équation différentielle la plus simple : y 0 = αy. Dans cette égalité, y symbolise une fonction inconnue dépendant d’une variable t, et y 0 est sa dérivée.

Vous savez (Terminale) que cette équation modélise l’évolution dans le temps du nombre d’atomes radioactifs.

Elle exprime le fait que la diminution du nombre d’atomes radioactifs (cad le nombre d’atomes qui se désintègrent) est proportionnelle au nombre total d’atomes radioactifs. De manière générale, une équation différentielle est une équation – dont l’inconnue est une fonction y dépendant d’une variable x (ou t), – qui fait intervenir y et certaines de ses dérivées y 0 , y 00 , etc., et éventuellement la variable x (ou t) . Résoudre l’équation différentielle, c’est chercher toutes les fonctions, définies sur un intervalle, qui satisfont l’équation (on dit aussi intégrer l’équation différentielle). Exemple Une solution de l’équation y 0 = αy est une fonction f , dérivable sur un certain intervalle I, et vérifiant f 0 (t) = αf (t) pour tous les t ∈ I. Remarques – La variable est parfois notée x, parfois t (t est utilisée en particulier quand l’équation décrit un phénomène dépendant du temps).

La fonction inconnue peut être notée y, parfois x, ou toute autre lettre adaptée au problème (cf plus bas, N pour le nb d’individus d’une population).

Ainsi, la même équation peut s’écrire y 0 = αy ou dy (t) = αy(t) dt ou dy (x) = αy(x) dx ou x0 = αx. – Attention : – dans le cours sur les fonctions de deux variables, y désigne une variable ; – dans le cours sur les équation différentielle, y désigne une fonction inconnue dans une équation. 2 1.2 D’autres exemples 1.

En fait, l’équation y 0 = αy modélise l’évolution de n’importe quelle quantité y dont la croissance (ou décroissance) est proportionnelle à y, et pas seulement la décroissance radioactive : citons par exemple : – l’évolution d’une somme d’argent rapportant des intérêts, placée à un taux α ; – le nombre d’individus dans une population avec un taux de naissance α. 2.

Expliquons avec un peu plus de détail la modélisation de l’évolution d’une population. (a) Le modèle le plus simple est le suivant : la population N a un taux de naissance α qui est constant ; le nombre de naissances est alors proportionnel au nombre d’individu : pendant un petit temps dt, il est égal au produit N αdt.

De même, le taux de décès β est supposé constant, et le nombre de morts est égal à N βdt.

On a alors l’équation dN = N (t)αdt − N (t)βdt ce qui conduit à l’équation différentielle N 0 (t) = (α − β)N (t). (b) Les solutions de cette première équation sont des fonctions exponentielle, ce qui n’est pas réaliste : on peut affiner le modèle en supposant que quand la population devient trop importante, il y a plus de décès (par surpopulation, dus par exemple au manque de nourriture).

Une possibilité, parmi beaucoup d’autres, est de rajouter un terme de décès proportionnel à N 2 (ce terme est donc dominant lorsque N est.... »