Determinante - Mathematik.

« Diese Ausdrücke können entsprechend der oben angeführten Definition der Determinante zweiter Ordnung berechnet werden. Da dieses Verfahren sehr aufwendig sein kann, nutzten Mathematiker einige Eigenschaften von Determinanten, um die Anzahl der erforderlichen Rechnungen zu reduzieren.Zu diesen Eigenschaften gehören u.

a.

folgende: (1) Eine Determinante ist gleich null, wenn alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) gleich den mit einem festen Faktor multiplizierten Elementen einer anderen Zeile (oderSpalte) sind.

In der oben beschriebenen geometrischen Bedeutung von Determinanten entspricht das dem Fall von flach gedrückten Paralleloiden, bei denen zwei deraufspannenden Vektoren in genau dieselbe Richtung zeigen.

Wenn beispielsweise in zwei Dimensionen eines degenerierten Parallelogramms die beiden aufspannendenVektoren in genau dieselbe Richtung zeigen, liegt ein zusammengedrücktes Parallelogramm mit der Fläche null vor. (2) Eine Determinante wird mit einem bestimmten Wert multipliziert, wenn man eine beliebige Zeile (oder Spalte) mit diesem Wert multipliziert.

Geometrisch bedeutet dies:Wenn ein Paralleloid um einen bestimmten Faktor in die Richtung eines aufspannenden Vektors gestreckt wird, so nimmt auch das Volumen um diesen Faktor zu.

EinQuader, dessen Höhe verdoppelt wird, verdoppelt damit auch sein Volumen. (3) Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu jedem Element einer Zeile (oder Spalte) das entsprechende Element einer anderen Zeile (oder Spalte),multipliziert mit einem festen Wert, addiert.

Dies entspricht einer Verzerrung eines Paralleloids, ohne dabei das Volumen zu ändern. 4 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Determinanten werden auch zur Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet.

Geometrisch entspricht ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten dem Schnitt von n Ebenenen im n-dimensionalen Raum.

Die n zu lösenden Gleichungen können algebraisch folgendermaßen dargestellt werden: Um die x1, …, xn zu bestimmen, konstruiert man eine Determinante aus den Koeffizienten a11 bis ann.

Weiterhin sei Δ die Determinante, die man dadurch erhält, dass man die k-te Spalte durch eine solche mit Konstanten b1, b2, …, bn ersetzt.

Ist Δ ≠ 0, so sind die Gleichungen miteinander vereinbar und eine Lösung möglich.

Diese erhält man durch: Ist Δ = 0, so sind weitere Untersuchungen notwendig, um die Anzahl und die Qualität der Lösungen zu bestimmen. Hier folgt ein ausgearbeitetes Beispiel.

Folgendes Gleichungssystem sei gegeben: 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 6, x1 + x2 + x3 = 3 und x1 - x2 + x3 = -1.

Man erhält also: x1 = Δ1 / Δ = 2. Durch Δ2 und Δ3 erhält man, dass x2 = 2 und x3 = -1. Bearbeitet von:M&PHY MünchenMicrosoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation.

Alle Rechte vorbehalten.. »