Équations différentielles d’ordre
Publié le 17/10/2015
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I Équations différentielles d’ordre 1 Définition 1 Soient a, b et c trois fonctions définies sur un intervalle I de R et y la fonction inconnue, définie et dérivable sur l’intervalle I. On suppose de plus que la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I. On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation du type : (E) : a(x)y ′ (x) + b(x)y(x) = c(x). Pour plus de clarté, nous allons travailler sur un exemple : celui du BTS 2008. On considère l’équation différentielle (E) : y ′ − 2y = xex où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R, et y ′ la fonction dérivée de y. 1. Déterminer les solutions définies sur R de l’équation différentielle (E0) : y ′ − 2y = 0. 2. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (−x − 1)e x . Démontrer que la fonction g est une s...
«
vérifiant cette équation.
Dans les sujets de BTS, toutes les indications permettant d'obtenir une solution
particulière sont données.
Bien souvent, une fonction est proposée et il suffit de vérifier que c'est une
solution particulière de (E), c'est à dire de remplacer les "y" par la fonction proposée dans l'équation
homogène (sans second membre), et de vérifier que l'on obtient bien le second membre Exemple 3 Dans
l'exemple du BTS, on nous demande de montrer que la fonction g est une solution particulière de (E) : ➔
Calcul de la dérivée : g(x) = (−x − 1)e x donc g ′ (x) = (−1)e x + (−x − 1)e x = (−x − 2)e x .
➔
Remplacement dans l'équation homogène : g ′ (x) − 2g(x) = (−x − 2)e x − 2(−x − 1)e x = (−x − 2 +
2x + 2)e x = xex .
➔ g est donc bien une solution particulière de (E).
I.3 Ensemble des solutions d'une
équation différentielle Théorème 2 Les solutions d'une équation différentielle sont de la forme y(x) =
y0(x) + yp(x) où y0 est la solution de l'équation sans second membre (E0) et yp une solution particulière de
l'équation complète (E).
Exemple 4 Dans notre exemple, on a y0(x) = ke−2x et yp(x) = g(x) = (−x − 1)e x .
Donc, la solution de l'équation (E) est : y(x) = ke−2x + (−x − 1)e x .
I.4 Unicité de la solution sous
condition initiale Théorème 3 Une équation différentielle linéaire du premier ordre (E) possède une
unique solution vérifiant une condition initiale du type y(A) = B.
Exemple 5 Dans l'exemple, on recherche la
solution f de (E) vérifiant f(0) = 0.
➔ On a alors : f(0) = 0 ⇐⇒ ke−2×0 + (−0 − 1)e 0 = 0 ⇐⇒ k − 1 = 0
⇐⇒ k = 1.
➔ Soit f(x) = e −2x + (−x − 1)e x .
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Équations différentielles 2008-2010 II Équations différentielles d'ordre 2 à coefficients co.
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