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Comment les mathématiques, qui sont pourtant un produit de la pensée indépendant de l'expérience, rendent-elles compte si excellement de la réalité ?

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On remarquera que, quoique l'énoncé postule que les mathématiques sont « un produit indépendant de l'expérience «, un tel postulat peut être remis en question, la conception empirique des mathématiques soutenant que celles-ci ne sont nullement indépendantes de l'expérience.

■ Le problème : Dans ces conditions, on voit que les deux problèmes fondamentaux de l'épistémologie des mathématiques, ceux auxquels les philosophes (notamment Platon, Descartes, Leibniz, Kant, etc.) n'ont cessé de réfléchir, sont de savoir, d'une part, comment les mathématiques sont possibles, c'est-à-dire quelle est leur origine, et, de l'autre, d'où vient leur accord avec la réalité physique. C'est à s'interroger sur cette double problématique que l'on invite lorsqu'on demande : « Comment les mathématiques, qui sont pourtant un produit de la pensée indépendant de l'expérience, rendent-elles compte si excellemment de la réalité ? «

« • Donc l'esprit s'apprend et il faut un certain temps pour s'y adapter. Il est indispensable de connaître les conceptset les symboles, puisque leur maîtrise permet un travail de réflexion. • Donc l'esprit mathématique, fort de cette expérience préliminaire, s'exerce par un recours constant à deuxfacultés décisives : la méthode, l'imagination. En effet, la méthode consiste à savoir toujours trouver le procédé quipermet d'aboutir. Descartes fut étonnant de simplicité créatrice, quand il utilise la géométrie analytique. Là, lemathématicien apprend à faire preuve de bon sens, de classification et de raisonnement. Il faut en outre qu'ilsuscite en lui les richesses de l'imagination.Elle permet à tout instant d'envisager tous les possibles, toutes les combinaisons ; elle permet, en outre, uneopération mentale qui prépare le travail des calculs. Ainsi, l'esprit mathématique est un outil complexe, riche, etadapté aux recherches de l'homme. 2 - Le raisonnement mathématique et ses notions • Le mathématicien utilise les richesses de son imaginaire et s'efforce donc de les appliquer à la réalité. Il lui fautconstituer une grille conceptuelle susceptible de rendre compte de la réalité. Il est ainsi à la charnière de deuxmondes. Il faut inventer et élaborer un raisonnement, mais celui-ci repose sur une intuition. Or, si le raisonnement,parce que fondé sur des concepts a tous les signes de la stricte rigueur, en revanche, il n'existe que par l'invention,que par la fécondité de l'imaginaire. Ceci explique que nombre d'esprits se sentent dépassés ou incapables face àcette double exigence : créer et construire, inventer et vérifier. • Mais, ensuite, les notions utilisées permettent des calculs, et tous ces calculs fondent une vérité qui peut ou nonaffirmer, infirmer, soutenir ou nier le travail de l'imaginaire. Là encore, différentes possibilités sont offertes àl'imagination : car il faut inventer des types de démonstration, des procédés pour simplifier, et il faut mêmecombiner, modifier ou négliger les figures. Ce travail préalable permet aux mathématiques de devenir intuitives, et lesphilosophes allemands, Kant surtout, se réjouiront de voir en l'esprit humain une capacité de jugement synthétique apriori, sans se soucier vraiment de l'expérience.Voilà déjà deux remarques sur le travail préliminaire en mathématiques. Si l'on interroge l'imaginaire, ce n'est paspour lui laisser une totale fantaisie, c'est plutôt pour familiariser l'esprit avec les richesses intérieures. Car la réalitén'est pas un simple donné, c'est une construction de l'esprit, une longue patience à coordonner des concepts et desfaits. 3 - L'histoire révèle les exigences faites aux mathématiques Les notions que l'homme peut inventer n'ont pas toutes cette fiabilité. Mais les mathématiques, elles, sont créditéesde façon très étonnante. On leur attribue, déjà bien avant Pythagore, un statut de vérité. Or, B. Russell s'amusait àrépondre à cet enthousiasme par un célèbre aphorisme : « Les mathématiques ne savent pas si ce qu'elles disentest vrai ». • En effet, les mathématiques ont un destin empiriqueLa géométrie s'élabore à partir de l'arithmétique, puis de l'algèbre. Et les considérations expérimentales restent trèssimples. Longtemps les gens de Babylone ou de Jérusalem calculeront le rapport de la circonférence au diamètre parle chiffre 3. Ou bien, les Égyptiens croiront que la surface d'un triangle est le produit de la moitié du plus grand côtépar le plus petit. Toutes ces vérités s'alignent en fonction d'expériences réduites.• L'arithmétique tente d'isoler les relations numériques et l'expérience. Elle va essayer de donner au nombre unevaleur idéale, abstraite, à la limite de la religion et de la croyance. On pense qu'ainsi on pourra calculer des rapportsplus généraux.Tous les exercices que firent les peuples à partir des chiffres montrent bien qu'ils se jugeaient désorientés etinefficaces dès qu'ils perdaient le lien avec la numération, ou avec la représentation visuelle. • Ainsi les mathématiques, depuis l'origine connue de certaines civilisations, montrent leur pouvoir de préhension surla réalité. Même quand les résultats s'avèrent décevants ou incomplets, les mathématiques établissent et forgentdes symboles de plus en plus opérants. Les résultats paraissent parfois si graves et si importants qu'on ne négligepas de les entourer de secrets. Cette intuition de rapports concrets, vrais et éternels, marque la naissance de lagéométrie, de l'arithmétique. Il y a toute l'ébauche des théories expérimentales et déjà les prémices de l'induction. 4 - Ainsi les mathématiques expliquent le réel Toutes les découvertes accomplies dans ce domaine, par exemple au début de l'ère chrétienne, l'invention du zéro,où pour la première fois l'homme invente des nombres négatifs, par exemple aussi le calcul infinitésimal, montrentl'insertion énorme des mathématiques dans l'expérience. Les champs nouveaux d'abstraction, permis par desrapports, des opérations et des fonctions, élargissent les territoires de la réalité. L'esprit humain se modifie, car ilmodifie aussi sa vision du monde. Dès que les physiciens se mettent à vérifier les hypothèses, il se produit un plusgrand progrès dans la découverte mathématique. Car, à la réalité abstraite et inventée de toutes les notions,s'ajoutent toutes les réponses vérifiées des physiciens.Plus le champ scientifique s'étend et se complexifie, plus le besoin de notions apparaît. Nous assistons ici à unfabuleux déploiement de mots nouveaux, ou repris aux anciens. Tantôt la théorie formelle imagine une réalité, tantôtune figure nouvelle impose des mots pour être décrite. Aussi bien les savants utilisent et inventent axiomes, »

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