Faut-il tout démontrer ?

« Il y a des limites au modèle géométrique. Pourtant l'homme se confronte à une double impossibilité.

1) Tout ne peut pasêtre défini.

Pour définir un mot, il nous faut utiliser d'autres mots qui, en touterigueur, devraient à leur tour être définis, et cela à l'infini.

2) Tout ne peutpas être démontré : pour démontrer une idée, on utilise d'autres idées qui àleur tour, devraient être démontrées, etc.

Cette double difficulté tient avanttout aux limites de la nature humaine, à l'impuissance naturelle de l'homme.Les exigences de la démonstration traduisent un décalage entre ce quel'homme veut (tout démontrer) et ce que l'homme peut.

Ce débordement deson vouloir au-delà des limites strictes de son pouvoir est ce qui pour Pascalcaractérise le mieux la condition humaine.

La raison est naturellement portée àtransgresser ses limites. «D'où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle etimmuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolumentaccompli.

Mais il ne s'ensuit pas de là qu'on doive abandonner toute sorted'ordre.

Car il y en a un et c'est celui de la géométrie...» Pascal, De l'espritgéométrique (1658). • Pascal fait remarquer que le modèle démonstratif de la géométrie nous amène dans un cercle vicieux: car il suppose que les termes que l'on utilise soient toujours définis de manière claireet distincte.

Or, pour définir un terme, il faut d'autres termes: on entre ainsi dans une régression à l'infini dont on nepeut sortir.

Il est donc vain de croire pouvoir tout démontrer.

Seule la géométrie échappe relativement à ceproblème.

Non pas parce qu'elle parvient à tout démontrer, mais parce qu'elle «ne suppose que des choses claires etconstantes par la lumière naturelle».

Mais elle est la seule dans son genre.

L'essentiel, dans une démonstration, n'est pas l'évidence de son fondement mais sa cohérence formelle. «Démontrer n'est pas autre chose que résoudre les termes d'une propositionet substituer au terme défini sa définition ou une de ses parties pour dégagerune sorte d'équation.» Leibniz, De la liberté (1707). • En définissant la démonstration comme une suite de substitutions, Leibnizmet de côté la question du fondement de la démonstration.

Unedémonstration n'est pas, pour lui, un discours bien fondé, c'est d'abord unesuite de propositions non-contradictoires.

Le fait que les définitions puissentêtre approfondies à l'infini n'est donc plus un problème pour le caractèredémonstratif du discours.• À partir de là, «démontrer» une proposition ne signifie plus «prouver lavérité» de cette proposition, mais montrer qu'elle est cohérente par rapportaux hypothèses sur lesquels elle repose.

L'idée d'une démonstration quiproduirait une «vérité absolue» fait place à la construction d'un modèle«hypothético-déductif».

Celui-ci est un mode de raisonnement dans lequel onexamine quelles sont les conséquences des hypothèses que l'on se donne.Par-delà les mathématiques, il peut s'appliquer à toutes sortes d'objets. LA DÉMONSTRATION, UN IDÉAL TOUJOURS RÉGULATEUR Si la science moderne a renoncé à étendre la démonstration comme type de connaissance à tous les objetspossibles, il n'en demeure pas moins que le modèle logico-mathématique de la connaissance imprègne encore lesesprits.

Einstein ne désespérait pas de trouver une formule qui exprime à elle seule la totalité du monde desphénomènes.

Mais cet idéal reste régulateur au sens kantien, il guide la connaissance comme un horizoninatteignable guide le marcheur.

Vouloir en faire le but de la science ne serait pas loin d'un délire de toute-puissance.. »