Les mathématiques ne sont-elles qu'un jeu arbitraire ?
Publié le 08/02/2016
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Pour Hilbert, les mathématiques sont un jeu au sens où il n'est pas nécessaire de faire appel à la réalité pour les construire. A partir d'axiomes tels que 1 + 1 = 2, 2+1 = 3, 3+1 =
4, et ainsi de suite, on peut procéder à des substitutions et effectuer des opérations: 2 + 2 = 4 devient (1 + 1) + (1 +
1) = 4. Puis 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1. Puis l + l + l + l — (2+1) + 1, et ainsi de suite, jusqu'à constatation de l'identité. Si Frege est d'accord avec Hilbert sur l'idée d'une réduction des mathématiques à un système logico-déductif, il reste que, pour Frege, les nombres, de même que les objets de la logique, sont non pas des signes vides, mais de véritables objets. Une égalité comme 2+1 = 3 n'est pas seulement un jeu de signes, mais encore quelque chose qui dit quelque chose du monde et qui est vrai de façon éternelle. Les philosophes, comme Frege ou Husserl, qui défendent cette position sont appelés «réalistes». Ils s'opposent au formalisme de Hilbert.
«
On ne peut pas comparer les mathématiques à un jeu
Un jeu ne représente rien.
Ainsi, dans un jeu de cartes,
l'as n'est supérieur au roi que pour des raisons arbitraires.
Les nombres mathématiques,
au contraire, représentent
une
réalité objective et éternelle.
Un système qui a
une référence ne
peut être un jeu
U
n signe , en général ,
repr ésente quelque
chose.
Quels
sont alors
les objets représentés
«Il y a bien en ce sens quelque ressemblance entre le nombre et la couleur, étant entendu qu'elle ne tient pas à ce qu'ils seraient
tous deux objets d'une per· ception externe mais à ce qu'ils sont tous deux objec·
tifs.» Gottlob Frege,
Les Fondements
de l'arithmétique
par des signes tels que
«3 » ou «7764 »? S'il existe
de tels objets , il faudra
renoncer à considérer
les mathématiques com
me un jeu, car un jeu
n'est qu'un système
de signes vides.
Le nombre s'ap
plique aux objets
Les nombres ne son t pas
des objets matériels:
per
sonne n'a jamais vu le
nombre 3.
On répondra
peut-être qu ' il est pos
sible de voir 3 pommes!
Cependant , la quantité
n 'est pas quelque chose
qui puisse exister hors
d'un objet.
Il est impos
sible de voir 3, indé
pendamm ent des pom
mes.
Le nombre est
donc quelque chose
que l'on dit d'un objet ,
un aspect de l'obj et.
Le monde des
mathématiques
est réel
Le nombre (la quantité)
est
semblable à la qua
lité.
Un e express ion
comme « il y a 3 pom
mes » - ou plutôt «la
pomme est à trois exem
plaires »
-est en fait sem
blable à.
»
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