Que connaît-on par les mathématiques ?

« de la théorie mathématique.

Les mathématiques ne connaissent donc pas les limites qui empêchent la physique dedéboucher sur une véritable connaissance : lorsque l'on affirme par exemple que la fonction (2x) est paire, on peutexpliquer qu'elle l'est, car 2x est un nombre pair et que le carré d'un nombre pair est pair, ce que l'on peut ensuiteprouver en revenant à la définition d'un nombre pair et ainsi de suite.

On peut considérer que les mathématiquespermettent de comprendre les choses en soi.

Étudions maintenant les raisons qui permettent de penser cela.

Les mathématiques semblent pouvoir nous faire connaître les choses en soi : l'idée de carré, par exemple, n'est qu'une idée, il n'existe nulle part dans la nature de carré parfait ; ce n'est ni un phénomène sensible ni uneapparence, le carré parfait se trouve uniquement dans notre esprit.

Les mathématiques permettent de connaîtrecertaines de ses propriétés.

On crée l'idée de carré à partir des carrés imparfaits que l'on voit dans la nature, onleur rattache une forme pure, une Idée au sens platonicien du terme, qui correspond à un noumène, une « choseen-soi » de Kant.

Selon Platon, la raison peut accéder aux choses en soi.

Ainsi, les mathématiques, qui sont unescience formelle, la géométrie qui porte non sur une figure déterminée, mais sur « la » figure, qui se définit par unminimum de caractéristiques essentielles, permettent de connaître les propriétés des choses en soi.

Un carré, c'estun quadrilatère à quatre angles droits.

Dans le monde sensible, ce qu'on appelle un carré a plusieurs caractéristiquesqui ne sont pas celles du « carré » idéal : il peut avoir un certain volume, être tracé sur un support, ne pas avoirquatre angles tout à fait droits, etc. Pour autant, ne pensons pas que les mathématiques portent sur des objets totalement imaginaires : en effet, les « choses en-soi » qu'elles étudient ont des ensembles de caractéristiques communes à certains objets.

Si ellesne s'offrent pas directement à notre sensibilité, elles sont à la portée de notre entendement, et sont liées à desobjets plus ou moins concrets.

Certes, il existe en mathématiques des domaines d'étude apparemment détachés dumonde sensible, mais on prend soin en mathématiques de prouver que ce dont on parle existe.

On n'introduit pas de« concept », mais des notations, des définitions.

On calcule par exemple dans l'ensemble des nombres complexes «( ) car on a réussi à prouver qu'un tel ensemble existe, basé sur le couple (1, i), avec i vérifiant i.i = -1.

Pour cela, on a tout simplement prouvé qu'il existait un objet mathématique ayant pour carré -1.

L'expression “nombreimaginaire pur” n'est donc pas vraiment adaptée.

Elle veut simplement dire qu'un nombre est uniquement composéd'une certaine quantité de i, “imaginaire” pour le sens commun, mais existant en mathématiques.

Ce nombre est donc “réel”, car il est intelligible. L'objet des mathématiques est donc la connaissance de choses abstraites, idéales, mais intelligibles, de relations entre plusieurs objets mathématiques.

Le raisonnement par l'absurde, qui semble être bâti sur despropositions fausses, se retrouve aussi en philosophie et n'a pour but que de prouver ce qui existe en démontrantque son contraire n'existe pas.

L'objet des mathématiques existe donc bel et bien ; il s'agit de notions abstraites,mais réelles.

Les mathématiques semblent donc pouvoir permettre de connaître l'intelligible.

Les sciences naturelles(physique, astronomie, biologie…) ont été créées pour connaître (comprendre et expliquer) le monde sensible.

Lerôle des mathématiques est de dévoiler les relations entre les choses en soi.

En mathématiques, contrairement à ceque l'on observe en physique, les raisons qui permettent d'expliquer une affirmation ne sont pas elles-mêmes à“expliquer”, puisque l'on définit des objets depuis des axiomes, et que l'on n'admet aucune “propriété” qui ne soitdémontrée. Ainsi, les mathématiques permettent de connaître puisque le raisonnement mathématique adopte une démarche ascendante, partant des axiomes les plus élémentaires aux conclusions les plus élaborées en s'assurantde la vérité de chacune des étapes qu'il franchit.

Les mathématiques ne sont pas basées sur un paradigme qui peutêtre renversé à tout moment comme en physique : les “révolutions scientifiques” de Kuhn épargnent lesmathématiques pour le moment.

Elles les épargnent, car s'il existe des “révolutions” dans les mathématiques, ellesconsistent en la découverte de nouvelles hypothèses plutôt que par la réfutation des hypothèses existantes.

Pour lemoment, car il serait toutefois possible d'attaquer les seules propositions non démontrées admises dans leraisonnement mathématique, les affirmations élémentaires à la base de toute réflexion, que ce soit en algèbre, enprobabilités ou en analyse : les axiomes mathématiques.

Les mathématiques peuvent être vues comme un simple outil facilitant l'exercice de la raison, car il est possible sans avoir recours à la notion de bijection de dire que l'infinité des nombres réels est supérieure à l'infinitédes nombres entiers.

Mais pour des démarches qui défient la raison, telle la comparaison de deux infinités presquesimilaires, des idées mathématiques sont indispensables.

Ainsi, on décide d'étudier la densité des infinis plutôt queleur cardinal (par définition infini) ; on prouve ainsi qu'il y a autant de nombres pairs que d'entiers, mais que si onnote 0 le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et 1 celui de l'ensemble , on peut prouver que 1 = 2^ 0 ; cela revient à comparer la densité des deux ensembles et non leur cardinal, bien entendu, car on ne peut pasconsidérer que 0 est un nombre réel.

On touche là aux limites de la connaissance mathématique : on ne peut démontrer les vérités qui nous dérangent le plus sans changer le système dans lequel on opère.

Georg Cantor estincrédule lorsqu'il démontre que [0,1] peut être mis en bijection avec , car dans son esprit, cela signifie qu'il y a “autant” d'éléments dans [0,1] que dans , ce qui est faux si on raisonne en terme de cardinal, car on trouve des réels hors de [0,1].

On découvre alors que l'on ne peut pas proprement parler de “cardinal” dans les ensemblesinfinis, mais plutôt de “densité”, mais si on utilise d'ordinaire le terme “cardinal” pour évoquer cette notion, uncardinal qui n'est pas défini comme dans les ensembles finis.

Les mathématiques s'éloignent alors de l'entendementsimple, pratique. Les mathématiques ne permettent donc la connaissance que dans un domaine qu'elles ont elles-mêmes circonscrit, encadré.

Un espace vectoriel ne s'offre pas à notre sensibilité, mais notre entendement le conçoitparfaitement.

C'est notre esprit qui façonne le cadre dans lequel la connaissance sera possible.

On peut alorscraindre, comme Kant, que celle-ci ne devienne subjective, et ne puisse donc permettre de connaître réellement leschoses en soi.

Et en effet, l'existence d'axiomes conditionne la valeur de vérité des propositions mathématiques.. »