Catégorie : Mathématiques
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Les courbes sinusoïdales
simples à retenir. Les tables de sinus permettent d 'avoir des approximations décimales des valeurs obtenues pour de nombreux angles . J:origine de telle s tables remontent à Hipparque au Il ' siècle avant J.-C. Il avait établi des table s de cordes qui permettaient le passage des mesures d 'angle s à celles des cordes. Ces table s étaient destinées à l'astronomie . Elles ont malheur eusement été perdue s. Aryabhata , au V' s iècle après J.-C., considérait l...
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Sphères, plans et droites
deux centres (plutôt que de traiter le problème directement dans l'espace). Dan s ce plan, il y a les deux centres et les deux cercles centrés en ces centres (les deux traces des sphères, c'est-à-dire les deux intersections des sphères avec le plan) . De plus, chacun de ces cercles a pour rayon le rayon de la sphère dont il est l'intersection avec le plan . • Si la distance séparant les deux centres est supérieure à la somme des rayons : les deux...
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Cônes et cylindres : cours de mathématique
grandeur: l'apothème a. Il s'agit simplement de la longueur d 'un segment reliant le sommet au cercle de base. Le théorème de Pythagore permet d'exprimer a. En effet, le triangle SOD est rectangle en O. On a donc a = v(R1 + H1). Grâce à l'utilisation de l'apothème on peut calculer l'aire et le volume du cône tout aussi facilement que pour le cylindre. Si on appelle R le rayon du cercle de base et H la hauteur du cône, l'aire de la base est A,= r...
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Les matrices: mathématiques
A est une matrice à n = 3 lignes et p = 4 colonnes, c'est-à-dire que A E M'· De plus, a23 = 4 ; a32 = 5. On peut bien sûr définir plusieurs opérations sur les matrices, à commencer par les opérations classiques : addition et multiplication. ADDITION Dans le cas de deux matrices D et E telles que n = p, les produits DE et ED ne sont pas égaux de manière générale (on dit que le produit n'est pas commutatif) . Une telle matrice, ayant autant de li...
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Les structures algébriques
alors f(e) est le neutre de H. • Pour x dans G, si on note x-1 l'inverse de X dans G alors f(x·•) est l'inverse de f(x) dans H. Autrement dit, l'inverse de l 'image est égal à l'image de l'inverse : (f(x))-1 =f(x-1) En résumé, les groupes sont des ensembles dans lesquels il existe une opération appelée loi de composition interne possédant des propriétés particulières et ces groupes englobent une grande partie des opérations que l'on utilise chaq...
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Les nombres premiers
nombres premiers s'observe sur l'allure de la courbe rr(x). Bien que cette dernière tende vers l'infini, elle a une direction asymptotique horizontale . Au début du XIX' siècle, Gauss et Legendre ont formulé séparément la même conjecture : ils supposèrent que le comportement de la fonction rr(x) à l'infini était le même que celui de x(Log(x). Cette conjecture a en effet été démontrée en 1896 de manière indépendante par Jacques Hadamard et Charl...
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L'histoire des nombres
lement ordonné , et muni de l'addition, de la multiplication , de la soustraction et de la division. LES NOMBRES COMPLEXES Il existe cependant certaines équations du second degré sans solution dans R. Par exemple, x' =- 1. On introduit alors le nombre i, solution de cette équation. Les nombr e s comple xes ou imaginaires , dont l'ensemble est noté C, s'écrivent (a+bt ) où a et b sont deux réels: a est la partie réelle et bi la partie imaginaire . On peut...
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Le calcul différentiel (histoire et principe)
sinus correspondant aux milieux considérés. Comme Fermat l'avait remarqué, la détermination d'un minimum (ou d'un maximum) se ramène à un calcul de tangente . Pour l'exprimer plus précisément, la tangente d'une courbe est « horizontale » en ses points extrêmes. PASCAL ET LE TRIANGLE ARITHMÉTIQUE Pascal a donné une impulsion décisive pour l'invention du calcul intégral, en étudiant les rapports réciproques entre différentes séries de nombres et ce...
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Algèbre et analyse
• x, représentant n'importe quel élément de E , est appelé variable def Les suites Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie 1 de l'ensemble N des entiers naturels. L'ensemble d'arrivée peut être R (on parle alors de suite réelle), un ensemble de fonctions (suite de fonctions), etc. Bien que les suites soient des fonctions , on use à leur propos d'un vocabulaire et de notations spécifiques . • À la phrase « u est une...
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Suite ari
c) Exemple concernant la suite arithmétique de premier terme 2 et de raiso n 3 : 2 + 5 + 8 + 11+14 +17 = 6 × 2 17 2 = 57 d) Exemple « classique » (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1) : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + (n -1) + n = 1+n n× 2 = n(n 1) 2 donc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 67 + 68 = 68×69 2 = 2346 e) Remarque : une formul eanalogue est utilisable pour trouver la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique quand...
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Rotations et Translations
soit la médiatrice de [MM1 Les points invariants de la symétrie axiale par rapport à (D) sont les points de (D). A l'instar des transfo rmations précéden tes, la symétrie axiale est une isométrie M M" ( D) / Attention cependant, la symétrie axiale possède une grande différence avec les autres transformations : si elle conserve la valeur des angles, en revanche elle inverse leur orientation ! On dit que c'est une isométrie opposée. • p ·.~·...
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Géométrie: les polygones
Trapèze • Un trapèze est un quadrilatère dont 2 côtés opposés sont parallèles. • La surface d'un trapèze vaut S=(a+c)xh/1 ou a etc sont les longueurs des 2 côtés parallèles eth est la longueur de la hauteur du trapèze (mesure de la distance entre les deux côtés parallèles) . a c • Son périmètre p vaut p=a+b+c+d. Rectangle • Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits (90°). a b b a • Sa surface est égale au produit d...
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Second degres
- La fonction f définie par [pic] peut s'écrire après simplification : [pic] ; c'est donc une fonction polynôme de degré 2 - La fonction g définie par [pic] peut s'écrire après simplification : [pic] ; ce n'est pourtant pas une fonction polynôme car elle n'est pas définie sur [pic]. 2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme a. Définition On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a) = 0. Exemples : Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pi...
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Les intégrales
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598- 1647), s'appuyant sur les travaux des astronomes Galilée (1564-1642) et Kep/er(1571-1630), va développer la théorie des indivisibles. L'idée centrale de cette théorie est qu'une courbe peut être considérée comme une somme de points que Cavalieri nomme les indivisibles. De même, la surface comprise sous une courbe peut être assimilée à la somme d'une multitude de lignes, indivisibles elles aussi. Derrière...
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LES VECTEURS (cours de mathématiques)
• vecteurs or1hogonaux : ü J..v ~ü.v=ô • vecteurs colinéaires : AB et M. sont colinéaires si et seulement si AB.AC=ABxAC ......... c.dly- Sdllr.-z Soient • et Y deux vecteurs quelconques. La valeur absolue du produit scalaire u.Y des vecteurs 11 et Y est inférieure ou égale au produit de leurs normes : lü-VIs lül-lvl Ils wcn.s -~~- Une famille de vecteurs forme une base si aucun de ces vecteurs ne peul se déduire des au1res par une combinai...
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Le nombre d'or
2 Bien que s on nom ne lui fut attribué qu’ en 1932 par un prince roumain le nombre d’or, φ (en l’honneur du sculpteur Phidias ? ou du mathématicien Fibonacci ?), a suscité la curiosité des H ommes depuis l’Antiquité. En effet présent chez les égyptiens et chez les grecs, il sera redécouvert à la R enaissance où il ne cessera d’être étudié et mystifié jusqu’à aujourd’hui. Nous allons tout d’abord voir l’histoire de ce fameux nombre d’or,...
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Exercices de probabilité
1. Première question du journal Une liste de 10 romans, écrits à des époques différ entes, est donnée. On demande de classer par ordre chronologique les 4 plus anciens. a) Combien y a -t -il de réponses possibles ? b) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne le bon classement ? 2. Deuxième question du journal On donne 6 titres de livres. Chaque titre correspond à un genre et un seul parmi les suivants : poésie, roman historique, science fiction. Le lec...
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Les équations du Second degré
Démonstration ݂(ݔ)ൌ ܽݔଶ ܾݔ ܿ ݂(ݔ)ൌ ܽݔଶ+ ܾݔ ܽ + ܿ ܽ൨ ݂(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ܾଶ Ͷܽଶ+ ܿ ܽ ݂(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ܾଶ Ͷܽଶ+ Ͷܽܿ Ͷܽଶ ݂(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ܾଶെ Ͷܽܿ Ͷܽଶ ࡻ࢙ࢋοൌ ࢈െ ࢇࢉ ࢋ ࢈࢘ࢋοࢋ࢙࢚ࢋࢊ࢙ࢉ࢘ ࢇ࢚ࢊ࢛࢚࢘Ø ࢋǤ ܦ݂݊ܿ(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ∆ Ͷܽଶ ܥ݁ݐݐ݁±ܿݎ݅ݐݑݎ݁݁ݏݐ݈ܽ݁±݂݁ݎ݉݁ܿܽ݊݊݅ݍݑ݁݀ݑݐݎ݅݊Ø݉݁Ǥ ࢌ(࢞)ൌ ࢇ൬࢞ ࢈ ࢇ൰ − ∆ ࢇ ࢙ןൌ െ ࢈ ࢇࢋ࢚ࢼ ൌ െ ∆ ࢇ ࢇ࢙࢘ࢌ(࢞)ൌ ࢇ(࢞െ ࢻ) ࢼ II. Représentation graphique et sens de variation 1) Activité sur Geogebra® Cf. page 10...
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Connaissances de base Mathématiques Terminale S
* Pour étudier la convergence d'une suite ( u n ) en + ∞ seulement , penser au calcul direct de la limite finie, penser au théorème : « ( u n ) est croissante et majorée ou décroissante et minorée », penser aux théorèmes de comparaison. Pour la limite d'une suite ( u n ) en + ∞ seulement , utiliser le calcul direct et si nécessaire, utiliser la limite d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle en + ∞ , factoriser, utiliser la quantité conjuguée, utiliser le taux de...
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Théorème de Gauss
Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 2 sur 9 On a rerOM Pour un déplacement élémentaire : rredredrOMd .. eded eddek eddedked r ..sin. ..sin)cossin.( .sin).(cos).sin( Donc edredredrOMd r ..sin.... Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques : F r F r rF MF sin1 1 grad d d - Périmètre d’un méridien (½ cer...