Catégorie : Mathématiques
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L'histoire des nombres
lement ordonné , et muni de l'addition, de la multiplication , de la soustraction et de la division. LES NOMBRES COMPLEXES Il existe cependant certaines équations du second degré sans solution dans R. Par exemple, x' =- 1. On introduit alors le nombre i, solution de cette équation. Les nombr e s comple xes ou imaginaires , dont l'ensemble est noté C, s'écrivent (a+bt ) où a et b sont deux réels: a est la partie réelle et bi la partie imaginaire . On peut...
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Le calcul différentiel (histoire et principe)
sinus correspondant aux milieux considérés. Comme Fermat l'avait remarqué, la détermination d'un minimum (ou d'un maximum) se ramène à un calcul de tangente . Pour l'exprimer plus précisément, la tangente d'une courbe est « horizontale » en ses points extrêmes. PASCAL ET LE TRIANGLE ARITHMÉTIQUE Pascal a donné une impulsion décisive pour l'invention du calcul intégral, en étudiant les rapports réciproques entre différentes séries de nombres et ce...
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Algèbre et analyse
• x, représentant n'importe quel élément de E , est appelé variable def Les suites Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie 1 de l'ensemble N des entiers naturels. L'ensemble d'arrivée peut être R (on parle alors de suite réelle), un ensemble de fonctions (suite de fonctions), etc. Bien que les suites soient des fonctions , on use à leur propos d'un vocabulaire et de notations spécifiques . • À la phrase « u est une...
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Suite ari
c) Exemple concernant la suite arithmétique de premier terme 2 et de raiso n 3 : 2 + 5 + 8 + 11+14 +17 = 6 × 2 17 2 = 57 d) Exemple « classique » (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1) : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + (n -1) + n = 1+n n× 2 = n(n 1) 2 donc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 67 + 68 = 68×69 2 = 2346 e) Remarque : une formul eanalogue est utilisable pour trouver la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique quand...
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Rotations et Translations
soit la médiatrice de [MM1 Les points invariants de la symétrie axiale par rapport à (D) sont les points de (D). A l'instar des transfo rmations précéden tes, la symétrie axiale est une isométrie M M" ( D) / Attention cependant, la symétrie axiale possède une grande différence avec les autres transformations : si elle conserve la valeur des angles, en revanche elle inverse leur orientation ! On dit que c'est une isométrie opposée. • p ·.~·...
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Géométrie: les polygones
Trapèze • Un trapèze est un quadrilatère dont 2 côtés opposés sont parallèles. • La surface d'un trapèze vaut S=(a+c)xh/1 ou a etc sont les longueurs des 2 côtés parallèles eth est la longueur de la hauteur du trapèze (mesure de la distance entre les deux côtés parallèles) . a c • Son périmètre p vaut p=a+b+c+d. Rectangle • Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits (90°). a b b a • Sa surface est égale au produit d...
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Second degres
- La fonction f définie par [pic] peut s'écrire après simplification : [pic] ; c'est donc une fonction polynôme de degré 2 - La fonction g définie par [pic] peut s'écrire après simplification : [pic] ; ce n'est pourtant pas une fonction polynôme car elle n'est pas définie sur [pic]. 2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme a. Définition On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a) = 0. Exemples : Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pi...
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Les intégrales
Bonaventura Francesco Cavalieri (1598- 1647), s'appuyant sur les travaux des astronomes Galilée (1564-1642) et Kep/er(1571-1630), va développer la théorie des indivisibles. L'idée centrale de cette théorie est qu'une courbe peut être considérée comme une somme de points que Cavalieri nomme les indivisibles. De même, la surface comprise sous une courbe peut être assimilée à la somme d'une multitude de lignes, indivisibles elles aussi. Derrière...
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LES VECTEURS (cours de mathématiques)
• vecteurs or1hogonaux : ü J..v ~ü.v=ô • vecteurs colinéaires : AB et M. sont colinéaires si et seulement si AB.AC=ABxAC ......... c.dly- Sdllr.-z Soient • et Y deux vecteurs quelconques. La valeur absolue du produit scalaire u.Y des vecteurs 11 et Y est inférieure ou égale au produit de leurs normes : lü-VIs lül-lvl Ils wcn.s -~~- Une famille de vecteurs forme une base si aucun de ces vecteurs ne peul se déduire des au1res par une combinai...
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Le nombre d'or
2 Bien que s on nom ne lui fut attribué qu’ en 1932 par un prince roumain le nombre d’or, φ (en l’honneur du sculpteur Phidias ? ou du mathématicien Fibonacci ?), a suscité la curiosité des H ommes depuis l’Antiquité. En effet présent chez les égyptiens et chez les grecs, il sera redécouvert à la R enaissance où il ne cessera d’être étudié et mystifié jusqu’à aujourd’hui. Nous allons tout d’abord voir l’histoire de ce fameux nombre d’or,...
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Exercices de probabilité
1. Première question du journal Une liste de 10 romans, écrits à des époques différ entes, est donnée. On demande de classer par ordre chronologique les 4 plus anciens. a) Combien y a -t -il de réponses possibles ? b) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne le bon classement ? 2. Deuxième question du journal On donne 6 titres de livres. Chaque titre correspond à un genre et un seul parmi les suivants : poésie, roman historique, science fiction. Le lec...
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Les équations du Second degré
Démonstration ݂(ݔ)ൌ ܽݔଶ ܾݔ ܿ ݂(ݔ)ൌ ܽݔଶ+ ܾݔ ܽ + ܿ ܽ൨ ݂(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ܾଶ Ͷܽଶ+ ܿ ܽ ݂(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ܾଶ Ͷܽଶ+ Ͷܽܿ Ͷܽଶ ݂(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ܾଶെ Ͷܽܿ Ͷܽଶ ࡻ࢙ࢋοൌ ࢈െ ࢇࢉ ࢋ ࢈࢘ࢋοࢋ࢙࢚ࢋࢊ࢙ࢉ࢘ ࢇ࢚ࢊ࢛࢚࢘Ø ࢋǤ ܦ݂݊ܿ(ݔ)ൌ ܽቈ൬ݔ ܾ ʹܽ൰ ଶ − ∆ Ͷܽଶ ܥ݁ݐݐ݁±ܿݎ݅ݐݑݎ݁݁ݏݐ݈ܽ݁±݂݁ݎ݉݁ܿܽ݊݊݅ݍݑ݁݀ݑݐݎ݅݊Ø݉݁Ǥ ࢌ(࢞)ൌ ࢇ൬࢞ ࢈ ࢇ൰ − ∆ ࢇ ࢙ןൌ െ ࢈ ࢇࢋ࢚ࢼ ൌ െ ∆ ࢇ ࢇ࢙࢘ࢌ(࢞)ൌ ࢇ(࢞െ ࢻ) ࢼ II. Représentation graphique et sens de variation 1) Activité sur Geogebra® Cf. page 10...
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Connaissances de base Mathématiques Terminale S
* Pour étudier la convergence d'une suite ( u n ) en + ∞ seulement , penser au calcul direct de la limite finie, penser au théorème : « ( u n ) est croissante et majorée ou décroissante et minorée », penser aux théorèmes de comparaison. Pour la limite d'une suite ( u n ) en + ∞ seulement , utiliser le calcul direct et si nécessaire, utiliser la limite d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle en + ∞ , factoriser, utiliser la quantité conjuguée, utiliser le taux de...
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Théorème de Gauss
Chapitre 3 : Théorème de Gauss Electrostatique Page 2 sur 9 On a rerOM Pour un déplacement élémentaire : rredredrOMd .. eded eddek eddedked r ..sin. ..sin)cossin.( .sin).(cos).sin( Donc edredredrOMd r ..sin.... Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques : F r F r rF MF sin1 1 grad d d - Périmètre d’un méridien (½ cer...
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Généralités sur les fonctions
Au début, il est recommandé de représenter les intervalles sur une droite pour se repérer en effet, on peut facilement se tromper avec les négat ifs. Par exemple, si on cherche un intervalle fermé dam plitude 1 et utilisant les entiers dans lequel se trouve le réel 2,65, on trace : (D) On obtient - 2,65 Î[- 3 ; -2]. Théorème Tout réel x peut être encadré par deux décimaux con sécutifs de même ordre (ordre 0 : par des entiers consécutifs, ordre 1 : par...
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Les Fonctions en mathématique
Les fonctions numériques Séance n 01 10/03/2010 Cours mathématiques 2009/2010 Page 2 2. Ensemble de définition 3. Image et antécédent:
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Correction de l’exercice 1 du Bac S – Am. du Sud – Nov. 2007. Mathématiques
Cette dernière égalité équivaut à : f ’(x) = 2 f(x) + f 0’(x) – 2f 0(x). Or, comme f 0est solution de (E), pour tout réel x, f 0’(x) – 2f 0(x) = cos x. D’où l’égalité f ’(x) = 2 f(x) + f 0’(x) – 2f 0(x) équivaut à l’égalité f ’(x) = 2 f(x) + cos x qui signifie que f est solution de (E). Donc f est solution de (E) si et seulement si f – f 0est solution de (E 0). d) En déduire les solutions de (E). On déduit des deux questions précédentes l’équivalence : f est solution de (E) si et seulement...
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Ph L à TSB&C - Devoir surveillé de mathématiques n°5 - corrigé
26/01/12- Ph L à TSB&C - Devoir surveillé de mathématiques n°5 -corrigé - page 2sur 7 2 Exercice n°2 : ( 4 Points ) à traiter par tous les élèves QCM Nombres complexes Pour chaque question, une seule des quatre proposit ions est exacte. Le candidat entoure la bonne réponse directement ci-dessous et rend le sujet de nseignement obligatoire avec sa copie sans oublier dy mettre son nom et son prénom . Aucune justification nest demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point;...
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Limites et Dérivées
2 C. Opérations sur les limites. • Somme : On a : g f g fa x a x a x → → → + = + lim lim ) ( lim Lim f Lim g L réel + ∞ – ∞ L’ réel L + L’ + ∞ – ∞ + ∞ + ∞ + ∞ F.I –∞ – ∞ F.I – ∞ • Produit : On a : g f g fa x a x a x → → → × = × lim lim ) ( lim Lim f Lim g L réel 0 ± ∞ L’ réel L L’ 0 ± ∞ 0 0 0 F.I ± ∞ ± ∞ F.I...
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QUADRATURE DE LA PARABOLE
TS D M 1 : q uadra tu re d e l a p ara bole Page 2 G. C O ST A N TIN I 1. À l 'a id e d 'u n r a is o nnem en t g éo m étr iq ue é lé m en ta ir e , e x p liq uer p ourq uo i l 'a ir e A d u d om ain e D v érif ie : A 1 2 2 . À l 'a id e d e l a f ig ure 2 , d ém ontr e r q ue : 6 2 5 A 11 2 5 3 . On s e p ro pose m ain te n an t d e d éco up er le s e g m en t [ 0 ; 1 ] e n n tr a n ch es d 'é g ale s lo ngueu rs p uis d 'é tu d ie r c e q ui s e p asse l o rs...