Grand Oral de Mathématiques Comment les mathématiques permettent-elles de construire un jeu comme le Dobble ?

« Grand Oral de Mathématiques Comment les mathématiques permettent-elles de construire un jeu comme le Dobble ? Introduction Aujourd'hui, je vais répondre à la question : Comment les mathématiques permettent-elles de construire un jeu comme le Dobble ? Le Dobble est un jeu de rapidité créé en 2009.

Il est composé de cartes circulaires sur lesquelles figurent plusieurs symboles différents. La règle est très simple : les joirs comparents deux cartes du jeu, et vous devait être le plus rapide à trouver le symbole commun entre les 2 cartes . À première vue, ce jeu semble reposer uniquement sur l'observation et la rapidité.

Pourtant, derrière cette simplicité se cache une construction mathématique particulièrement sophistiquée. La difficulté n'est pas de dessiner les symboles mais de les répartir sur les cartes de façon à respecter la règle fondamentale : Deux cartes quelconques doivent avoir exactement un symbole commun. Si plusieurs symboles étaient communs, le jeu deviendrait confus. Si certaines cartes n'avaient aucun symbole commun, le jeu deviendrait impossible. Les mathématiques permettent donc d'assurer l'équilibre du jeu. Nous allons voir comment le dénombrement, la géométrie et les probabilités interviennent dans la construction du Dobble. I.

Une première difficulté : combien existe-t-il de paires de cartes ? Commençons par observer le vrai Dobble. Le jeu commercial contient 55 cartes.

( on y reviendra ) Pour que la règle soit respectée, il faut vérifier toutes les paires possibles de cartes. Le nombre de paires se calcule grâce aux combinaisons : Nombre de paires = C(55 ; 2) = (55 × 54) / 2 = 1485 Il existe donc 1485 paires différentes de cartes. Cela signifie que la propriété : « une paire de cartes = un symbole commun » doit être vérifiée 1485 fois. On comprend alors que construire le jeu au hasard serait pratiquement impossible. Il faut donc une organisation mathématique très rigoureuse. II.

Un mini-Dobble : Pour comprendre cette organisation, on va créer un mini version du jeu : Considérons : • 7 cartes ; que l'on notera de 1 à 7 • 7 symboles notés A à G ; • 3 symboles par carte. On remarque immédiatement une coïncidence : • 7 cartes ; • 7 symboles. En réalité, ce n'est pas un hasard. Nous allons vérifier cela grâce au dénombrement. Chaque carte contient 3 symboles. Le nombre total d'apparitions de symboles est donc : 7 × 3 = 21 Maintenant, supposons que chaque symbole apparaisse le même nombre de fois. Comme il y a 7 symboles : 21 ÷ 7 = 3 Chaque symbole apparaît donc exactement 3 fois. Nous obtenons alors une situation parfaitement équilibrée : • 3 symboles par carte ; • chaque symbole apparaît 3 fois. Cette valeur 3 est appelée l'ordre du mini-Dobble. Apparition de la formule N² + N + 1 On considère un système où : • chaque carte contient (N + 1) symboles • chaque paire de cartes a exactement 1 symbole commun 1.

Comptage sur une carte Une carte contient : N + 1 symboles Donc chaque symbole est associé à : N autres symboles sur la même carte 2.

Comptage avec les symboles Chaque symbole apparaît dans r cartes. Dans chaque carte, il est associé à N symboles. Donc le nombre total d’associations est : r×N 3.

Comptage global par les symboles Si le jeu contient S symboles au total : chaque symbole doit être associé aux S − 1 autres symboles. Donc : r×N=S−1 4.

Cas d’un système parfait Dans une construction équilibrée du Dobble : r=N+1 On remplace dans la.... »