Grand Oral Maths Face ID et Géométrie dans l’espace

« Grand Oral Maths En quoi la géométrie dans l'espace est-elle utile à la reconnaissance faciale ? INTRODUCTION Aujourd'hui, la reconnaissance faciale est omniprésente : elle permet de déverrouiller nos smartphones (Face ID) ; d'assurer la sécurité dans les aéroports, et même d'identifier des criminels grâce aux caméras de surveillance.

Mais comment une machine peut-elle identifier un visage sous différents angles, avec différentes expressions ? La réponse repose en grande partie sur la géométrie dans l'espace qui permet de modéliser les visages en 3D et d'effectuer des comparaisons précises grâce aux améliorations des systèmes à l'aide des suites mathématiques. Nous allons voir aujourd'hui comment modéliser mathématiquement un visage en 3D en utilisant les coordonnées dans l'espace, puis comment les suites permettent d'illustrer l'évolution des systèmes, et enfin comment aligner et comparer les visages grâce aux transformations géométriques et étudier les distances et les angles caractéristiques du visage. MODELISATION MATHEMATIQUE DU VISAGE EN 3D Un visage humain n'est pas une simple image plate mais une forme tridimensionnelle qui peut être représenter mathématiquement. Pour modéliser un visage, on utilise un repère orthonormé dans l'espace.

Chaque point du visage fait référence a une caractéristique (yeux, nez, bouche) et peut être représenté par un vecteur le reliant à l'origine du repère.

Alors, soit O, l'origine d'un repère orthonormé (o, I, j, k) et M ( de coordonées x, y, z), un point du visage quelconque dans l'espace.

On peut représenter le point M comme le vecteur OM de coordonnées x y z. Pour comparer des visages, on peut examiner les vecteurs formés entre les points-clés (comme les yeux et le nez).

Par exemple, le vecteur reliant les yeux : Soit A le point modélisant le coin de l'œil droit de coordonnée (xa ;ya ;za) et B le point modélisant le coin de l'œil gauche de coordonné (xo ;yb ;zb).

On peut alors calculer les coordonnées du vecteur AB qui est égal à (xb-xa, yb-ya, zb-za). Un visage contient des milliers de points, ce qui rend la comparaison longue.

Donc pour facilité l'analyse du visage, on sélectionne uniquement les points les plus caractéristiques du visage. Une caméra 3D ou un capteur infrarouge (FACE ID) enregistre plusieurs centaines de points de cette manière, formant un nuage de points qui permet d'obtenir une cartographie du visage. Cette modélisation en 3D, donc dans l'espace, permet d'identifier un individu sous différents angles, contrairement à une simple photo en 2D donc dans un plan. AFFINER LA RECONNAISSANCE : SUITES MATHEMATIQUES ET AMELIORATION DES SYSTEMES Modéliser un visage dans l'espace, c'est une première étape. Mais pour que la reconnaissance faciale fonctionne vraiment bien, il faut capter de plus en plus de détails. Et cette amélioration des systèmes peut être modélisée grâce a une suite géométrique. Prenons un exemple concret : Le premier capteur 3D capte 100 points caractéristiques sur le visage.

A chaque nouvelle version, le capteur devient plus précis et capte 20% de points en plus que la version précédente.

(On note que 20 indique une amélioration significative). On peut modéliser cela par une suite définie par récurrence : U0 = 100 Un+1 = 1,2 x Un Cette suite est géométrique de raison 1,2.

Sa formule explicite est : Un = 100 x (1,2) n Par exemple : U1 = 100 × (1,2) = 120 U2 = 100 × (1,2)2 = 144 U3 = 100 x (1,2)3 = 172,8 On voit bien qu'à chaque amélioration, le système devient plus précis.

Plus il capte de points, plus il a d'informations pour reconnaître un visage. Mais cette évolution ne concerne pas uniquement le nombre de points. Les systèmes deviennent aussi plus rapides, plus sensibles, capables de fonctionner dans différentes conditions de lumière ou même avec des parties du visage cachées.

Tous ces progrès peuvent eux aussi être étudiés grâce aux mathématiques. Cela montre que la reconnaissance faciale ne cesse de s'améliorer, de manière régulière et mesurable. Mais capter plus de points ne suffit pas.

Il faut maintenant réussir à comparer les visages de manière fiable, même s'ils sont tournés ou que l'expression change. Pour cela, on.... »