Grand oral Maths problème de Monty Hall

« Sujet numéro 2 :THEME MATHEMATIQUES En quoi les probabilités contredisent elles le raisonnement intuitif dans le problème de Monty Hall ? INTRODUCTION : Les probabilités permettent d’appréhender les jeux de hasard et prendre la meilleure décision.

Inspiré du jeu télévisé américain « Let’s Make a Deal » le problème de Monty Hall est un exemple congrès de l’utilisation des probabilités. Il est simple dans son énoncé, mais non intuitif dans sa résolution.

La situation suivante : Supposons que Monty Hall vous place devant trois portes, derrières lesquelles il y’a une voiture et deux chèvres.

L’objectif étant de trouver la voiture. - Il vous demande de choisir l’une des trois portes Puis Monty Hall ouvre une des deux portes, laquelle où il y’a une chèvre Finalement, il vous demande si vous désirez modifier votre choix Les questions qui se posent au candidat sont : Que doit faire le candidat ? Vaut-il mieux changer de porte ou garder son choix initial ? Ou ces deux stratégies sontelles indifférentes ? DEUX HYPOTHESES : Si l’on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s’opposent.   Le premier affirme qu’il y’a autant de chance de gagner avec changement que sans changement soit 1/2 Le second affirme qu’il y aurait 2/3 de chances de gagner en changeant DEMONSTRATIO N ET SOLUTION PAR LES PROBABILITES Nous allons déterminer la solution grâce aux probabilités. On définit les événements en fonctions du choix initial    CA : le candidat a choisi la porte de la chèvre A CB : le candidat a choisi la porte de la chèvre B V : le candidat a choisi la porte de la voiture Ces trois évènements sont équiprobables : P(CA)= P(CB)= P(V)= 1/3 Etudions le cas où le candidat ne change pas son choix, on peut traduire la situation par un arbre pondéré : 1 Voitur Voitur 1/3 Chèvre 0 0 Chèvre Chèvre 1 Chèvre Voitur 0 Voitur 1 Chèvre 1/3 1/3 Si le joueur ne change pas de porte, le candidat ne gagne qui s’il avait choisi la voiture au départ, on a donc : Pc(GVS)= 0 et Pv(GVS)=1.

Afin de déterminer P(GVS) l’évènement « le candidat gagne la voiture sans changer de porte », on utilise la formule des probabilités totales. P(GVS)= P(V ⋂ GVS) + P(CA ⋂ GVS) + P(CB ⋂ GVS)  La probabilité qu’il est choisi la voiture et qu’il est gagnant +la probabilité qu’il ait choisi la chèvre A et qu’il est gagnant + la probabilité qu’il ait choisi la chèvre B et qu’il soit gagnant P(GVS)= 1/3 X 1 + 1/3 X0 +1/3X0 = 1/3 Donc la probabilité que le candidat gagne la voiture sans changer de porte est de 1/3 soit environ 33,33%. Etudions le cas où le candidat change de porte, on a la représentation suivante : Voitur 0 Voitur 1/3 1 Chèvre Chèvre Chèvre 1 0 Chèvre 1 1/3 Voitur 1/3 Voitur 0 Chèvre Si le joueur change de porte, il gagne si et seulement s’il avait choisi intuitivement la mauvaise porte, on a donc : Pc(GVC)=1 et Pv(GVC)=0.

On a raisonné de manière similaire, on cherche P(GVC) l’évènement « le candidat gagne la voiture en changeant de porte » : P(GVC)= P(V ⋂ GVC) + P(CA ⋂ GVC) + P(CB ⋂ GVC)  La probabilité qu’il est choisi voiture et qu’il est gagnant +la probabilité qu’il ait choisi la chèvre A et qu’il est gagnant + la probabilité qu’il ait choisi la chèvre B et qu’il soit gagnant = 1/3X0 + 1/3X1.... »