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La vérité mathématique est-elle le modèle de toute vérité ?

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Les autres sciences cherchent également à imiter cette structure déductive, caractéristique des vérités mathématiques, en se donnant une forme axiomatique, comme c'est le cas de la physique.Pourtant, bien des sciences ne peuvent en aucun cas posséder les caractères des vérités mathématiques et leur structure déductive. 

Deuxième partie: LES MATHÉMATIQUES COMME MODÈLE D'ENCHAîNEMENT DÉDUCTIF

Apodicticité de la démonstration mathématique. a) Descartes déclare, dans son Discours de la Méthode, qu'entre toutes les sciences, les mathématiques l'attirèrent « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons «. b) Science abstraite, qui fait l'unanimité de ceux qui la pratiquent, la science mathématique apparaît comme un modèle d'intelligibilité auprès des autres sciences. Généralité et abstraction des objets mathématiques. a) Généralité : les mathématiques, dit Descartes, sont « une science générale qui explique tout ce qu'il est possible de rechercher touchant l'ordre et la mesure, sans assignation à quelque matière particulière que ce soit « (Règles pour la direction de l'esprit, 1629). Elles ne considèrent, dans le domaine où on les applique, « que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent « (Ibid ) b) Abstraction : A propos des objets dont elles traitent, les mathématiques ne se mettent guère en peine de savoir « si elles sont dans la nature, ou si elles n'y sont pas « (Descartes, Méditations métaphysiques, 1641 ). Selon le mot de Goblot, les mathématiques n'ont pas besoin pour être vraies que leurs objets soient réels. La certitude de leurs démonstrations ne requiert aucunement la vérification expérimentale.

Les mathématiques ont pour caractère particulier de produire des vérités qui sont à la fois nécessaires et certaines. Personne ne peut contester les énoncés "deux plus deux font quatre" et "la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits". On comprend donc que les vérités mathématiques servent de modèle à toute recherche de la vérité. Pourtant n'est-ce pas perdre de vue la diversité des types de vérités ?

  • 1) Les mathématiques sont le modèle des autres sciences.
  • 2) Deuxième partie: LES MATHÉMATIQUES COMME MODÈLE D'ENCHAîNEMENT DÉDUCTIF.
  • 3) Les vérités empiriques sont irréductibles aux vérités mathématiques.
  • 4) Les vérités empiriques, et non scientifiques.

« « si elles sont dans la nature,ou si elles n'y sont pas » (Descartes, Méditations métaphysiques, 1641 ). Selon le mot de Goblot, les mathématiquesn'ont pas besoin pour êtrevraies que leurs objets soient réels. La certitude de leurs démonstrations ne requiert aucunement la vérificationexpérimentale.Autre formule célèbre qui souligne l'abstraction de l'objet mathématique : la géométrie, dit-on souvent, est l'art deraisonner juste sur des figures fausses (puisque les segments que je trace sur ma feuille ont une épaisseur, puisquela droite que je figure n'est pas infinie, etc.). Le raisonnement déductif.La démonstration mathématique est nécessaire (ou apodictique). Sa force probatoire s'impose comme une obligationà l'esprit. On appelle raisonnement déductif, écrit le mathématicien Jean Dieudonné, « un enchaînement depropositions disposées de telle sorte que le lecteur (ou auditeur) se voit contraint de considérer comme vraiechacune d'elles, dès qu'il a admis la vérité de celles qui la précèdent dans le raisonnement ». 3. Les vérités empiriques sont irréductibles aux vérités mathématiques A. Les sciences sont diverses : la géographie, les sciences sociales, la biologie, la géologie, la chimie et la physiqueont peu de points communs. En particulier, leurs méthodes sont différentes. Si la physique est fortementmathématisée, et est donc susceptible de recevoir une structure déductive, l'importance des mathématiques estmoins grande pour les autres sciences et même nulle pour d'autres, comme pour la plupart des sciences humaines.Ces sciences ne peuvent donc pas recevoir de structure déductive. B. En outre, la nature des vérités qu'elles sont susceptibles de produire varie d'une science à l'autre. Les énoncésdes sciences humaines, par exemple de l'histoire, sont tout d'abord de nature herméneutique : ils correspondent àune interprétation des données qui constituent le matériel de l'histoire. Par conséquent, ils ne peuvent pas êtrecertains au sens où peuvent l'être les vérités mathématiques. Leur nature est donc différente. C. Les sciences empiriques de la nature ne sont pas de nature herméneutique, mais dépendent de généralisations àpartir de l'expérience. Comme toute généralisation, les énoncés empiriques ne peuvent être certains. Et laconviction qu'ils peuvent produire ne provient jamais d'une déduction : la certitude des vérités scientifiquesempiriques est différente de la certitude des vérités mathématiques.En outre, la science n'a pas le monopole de la vérité : quelle est la nature des vérités non scientifiques? 4. Les vérités empiriques, et non scientifiques La mathématisation des résultats scientifiques nous a habitués à penser qu'une démarche est d'autant plusscientifique que ses résultats sont transposables en formules mathématiques. Mais une vérité empirique, telle qu'onla rencontre dans les sciences de la nature, est d'abord formulée relativement à des données expérimentales : c'estdu monde qui nous entoure qu'il est question en physique ou en chimie, c'est du vivant auquel nous appartenonsque s'occupe la biologie.Aussi les problèmes concernant l'élaboration de vérités empiriques sont-ils plus complexes que ceux qui concernentles vérités formelles. C'est qu'il s'agit alors de faire en sorte que ce qu'elles énoncent soit en « accord » avec ledonné auquel on les réfère. Une loi simple comme « À pression normale, le phosphore fond à 90° », fait intervenir lasignification intuitive des termes « phosphore », « pression normale », « fondre », « x degrés ». Cette significationest déterminée par la correspondance établie entre les expressions et l'existence d'un corps chimique, desopérations (l'échauffement, la mesure de la pression et de la température) impliquant l'intervention d'instruments(donc la présence des théories qui les fondent), et des constatations (l'ébullition, la graduation en face de laquelles'arrête l'extrémité d'une colonne de mercure). Dans ces conditions, l'esprit ne peut plus décider seul de définir lestermes sur lesquels il réfléchit : il doit tenir compte de données provenant de ce qu'il perçoit dans les phénomènes.Lorsqu'une loi scientifique est mathématisée, cela indique néanmoins que la relation qu'elle établit est la mêmequ'une relation déjà découverte mathématiquement. Il en va semblablement pour la mathématisation des théoriesentières, et l'on constate alors qu'une théorie peut se développer en recourant simplement à des calculs purementmathématiques, sans référence au donné empirique. Il n'en reste pas moins que ce donné devra ensuite êtredécouvert, pour que la théorie puisse être validée. La physique théorique est ainsi toujours en quête deconfirmations empiriques lui permettant de s'affirmer comme vraie.Cette caractéristique des sciences « dures », déjà soulignée par Bachelard, se fait évidemment plus discrète dansles disciplines constituant les « sciences sociales » ou « humaines ». Leur donné empirique concerne en effet unvécu humain qui semble irréductible à la mathématisation, parce qu'il confond les faits et les valeurs. Si les faitspeuvent se traduire en relations mathématiques, il n'en va pas de même des valeurs, quel qu'en soit le domaine,moral — politique ou esthétique. La vérité que l'on y élabore se trouve liée à des idéologies, à des « visions dumonde », parce que la réalité humaine implique ces dernières et s'organise à partir d'elles. »

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