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La vérité mathématique peut-elle servir de modèle à toute vérité ?

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■ Analyse du sujet — Quelles sont les qualités particulières qui feraient des vérités mathématiques un modèle ? — Si l'on s'interroge sur l' « objet « (ou le « contenu «) des vérités mathématiques, on constate qu'elles ne concernent rien en particulier. En va-t-il de même pour toutes les vérités ? — On n'hésitera pas à évoquer l'existence de vérités non scientifiques, et à montrer en quoi elles peuvent différer des vérités mathématiques. ■ Pièges à éviter — Attention à ne pas prendre le concept de vérité dans une acception trop étroite : pensez notamment à la différence entre vérités formelles et vérités empiriques. — Bien cerner les concepts que vous pouvez utiliser pour caractériser les vérités mathématiques (tautologie, caractère « formel «). — Ne récitez pas des fragments de cours (sur les mathématiques ou la vérité) : ce matériau doit être organisé dans le cadre d'une copie démonstrative.

  • La nature de la vérité est, depuis les débuts de la philosophie, un sujet de réflexion et de débats capital. Pour préciser en quoi consiste la vérité, il est tentant de considérer les domaines dans lesquels elle paraît la mieux établie, et parmi ces domaines, les mathématiques ont fréquemment été reconnues comme le moins contestable. Au point que, chez certains philosophes, les vérités que l'on élabore en mathématiques font office de modèle, non seulement pour toute vérité scientifique, mais aussi pour la vérité dans quelque domaine que ce soit. Reste à savoir toutefois si les vérités mathématiques, en raison même de leurs caractères, peuvent inspirer la définition des vérités portant sur des secteurs dont la mathématisation n'est pas intégralement possible, ou, plus gravement encore, dont la mathématisation n'est pas même concevable. Il apparaît ainsi qu'accepter le modèle mathématique n'est pas si aisé qu'on pouvait d'abord le penser.

Introduction

  • I. Les vérités mathématiques comme modèle
  • II. La vérité formelle
  • III. Les vérités empiriques, et non scientifiques

Conclusion

« A l'époque de Popper , on affirmait généralement que ce qui distinguait la science des autres disciplines, c'était le caractère empirique de sa méthode. Autrement dit, en multipliant les observations et les expériences, lesavant en tirait, en vertu du fameux principe d'induction, des lois qu'il considérait comme nécessaires etuniversellement valides. Partant de là, les néopositivistes soutenaient que tout ce qui n'est pas vérifiable est« métaphysique » et doit être éliminé de la science. Or, comme le souligne Popper , l'induction, qui consiste à inférer une règle universelle à partir d'une multitude de cas particuliers et donc des théories à partir d'énoncés singuliersvérifiés par l'expérience, est une démarche logiquement inadmissible : « Peu importe le grand nombre de cygnes blancs que nous puissions avoir observé, il ne justifie pas la conclusion que tous les cygnes sont blancs. » Aussi Popper affirme-t-il qu'aucune théorie n'est jamais vérifiable empiriquement et il distingue trois exigences auxquelles devra satisfaire ce qu'il appelle un « système empirique » ou scientifique : « Il devra, tout d'abord, être synthétique, de manière à pouvoir représenter un monde possible, non contradictoire. En deuxièmelieu, il devra satisfaire au critère de démarcation, c'est-à-dire qu'il ne devra pas être métaphysique mais devrareprésenter un monde de l'expérience possible. En troisième lieu, il devra constituer un système qui se distingue dequelque autre manière des autres systèmes du même type dans la mesure où il est le seul à représenter notremonde de l'expérience. » La troisième exigence est la plus décisive. Comment, en effet, reconnaître le système qui représente notre mondede l'expérience ? La réponde de Popper est la suivante : par le fait qu'il a été soumis à des tests et qu'il y a résisté. Cela signifie qu'il faut appliquer une méthode déductive. En d'autres termes, si nous ne pouvons exiger des théoriesscientifiques qu'elles soient vérifiables, nous pouvons exiger d'elles qu'elles soient mises à l'épreuve. Il s'agit pourcela de déduire de la théorie examinée des énoncés singuliers ou « prédictions » susceptibles d'être facilement testés dans l'expérimentation. Une théorie qui ne résiste pas aux tests sera dite « falsifiée » ou « réfutée » par l'expérience. Si elle passe l'épreuve des tests, elle sera considérée comme provisoirement valide jusqu'à ce qu'elle échoue à destests ultérieurs ou qu'une théorie plus avantageuse apparaisse. Ainsi alors que, jusqu'ici, une théorie était considérée comme vraie parce qu'elle était confirmée par de nombreuses observations et expérimentations, c'est aux yeux de Popper la « falsifiabilité » ou la possibilité d'être falsifié par l'expérience, qui permettra de faire le tri entre les énoncés scientifiques et ceux qui ne le sont pas : « Un système faisant partie de la science empirique doit pouvoir être réfuté par l'expérience. » Ainsi l'énoncé « Il pleuvra ou il ne pleuvra pas ici demain », étant infalsifiable, sera considéré comme non empirique, puisqu'aucune expérience ne peut l'invalider et comme non scientifique. Autrement dit, l'irréfutabilité n'estpas vertu mais défaut. Et c'est au nom de ce critère de falsifiabilité que Popper peut exclure de la science des théories comme le marxisme et la psychanalyse, théories qui sont totalisantes, qui couvrent la totalité desphénomènes qui se produisent dans leur domaine d'attribution, qu'aucun fait ne pourra jamais contredire. Prenons l'exemple de la psychanalyse. N'est-ce pas une théorie qui échappe à toute épreuve qui pourrait la réfuter ? Le refus de la réalité de l'inconscient ou encore de la sexualité infantile n'est-il pas, au fond, pour lepsychanalyste, une manifestation même de résistance ? Quelle que soit la critique qu'on adresse à la psychanalyse,ne peut-elle pas être interprétée par le médecin en termes de résistance ? C'est précisément parce qu'elle n'exclutaucun fait de son domaine, même ceux qui pourraient la contredire, que Popper relègue la psychanalyse au rang de fausse science, aux côtés de la cartomancie ou encore de l'astrologie. Il est donc possible de décider de la vérité ou de la fausseté d'une théorie ou d'un énoncé, et ce de manière concluante. Dire qu' « un système faisant partie de la science empirique doit pouvoir être réfuté par l'expérience », cela signifie bien que, paradoxalement, « c'est la falsifiabilité et non la vérifiabilité d'un système qu'il faut prendre comme critère de démarcation ». Est vrai ce qui peut être falsifié. On accordera à Popper que dans le domaine des sciences physiques ou plus généralement des sciences de la nature, démontrer une théorie, c'est tenter de la falsifier, autrement dit, élaborer les conditions de la découvertedes faits capables de l'infirmer. L'histoire de ces sciences nous montre qu'aucune théorie, même parfaitement établiedans la communauté scientifique, n'est jamais définitive. Les progrès se font par erreurs, par conjectures etréfutations. On ne peut jamais souscrire à une théorie que provisoirement, c'est-à-dire tant qu'elle survit aux testsdestinés à l'invalider. On constate aussi qu'une nouvelle théorie n'annule pas toujours complètement l'ancienne. Ellepeut, tout en la contredisant, la contenir comme bonne approximation, lorsqu'un paramètre tend vers une valeurlimite. Par exemple, la théorie de l'attraction universelle de Newton est englobée dans la théorie de la relativité généralisée de Einstein . On peut même conjecturer que, sans être vraies, les théories nouvelles sont plus proches du vrai que celles qu'elles ont dépassées. Autrement dit, les rapports polémiques entre les constructions théoriqueset les faits nouveaux sont à la source d'une plus grande rationalisation du réel et de progrès de la raison elle-même. Toutefois ce n'est pas parce que certaines théories ne répondent pas à ce critère de falsifiabilité qu'il faut nécessairement les ravaler au rang de pseudo-sciences. Il y a là une affirmation d'autant plus dogmatique quesavoir ce qu'est une science n'est pas décidable scientifiquement. Il y a là aussi ce préjugé tenace que les sciencesphysiques sont le modèle de toute science, préjugés qui a freiné l'évolution des sciences humaines. Voyons lacritique de la psychanalyse : elle est certes séduisante, mais elle oublie le statut particulier de cette théorie qui vise »

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