L’enseignement de Desargues : la génération des sections coniques de Blaise PASCAL

En 1639, le lyonnais Girard Desargues publiait, dans un langage quelque peu déconcertant, le Brouillon, project d’une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan (1) qui est le premier traité moderne de géométrie projective. Il eut peu de lecteurs mais fut pour le jeune Pascal une révélation. Ce dernier devait publier, dans les premiers mois de 1640, sous la forme d’une affichette, le résultat de ses propres recherches sur le sujet sous le titre d’Essay pour les coniques. S’y reconnaissant débiteur de Desargues, il apporte une contribution originale aux travaux de son devancier en inventant un théorème nouveau : celui de l’hexagone inscrit dans une conique quelconque dont on peut penser que Pascal l’a d’abord démontré pour le cercle avant de le généraliser aux différentes coniques grâce à la correspondance ponctuelle établie par projection.

Sans doute s’agit-il là de cette propriété que les contemporains nommèrent « la Pascale » et dont le Père Mersenne nous apprend qu’on en pouvait tirer plus de quatre cents propositions (2). Cette invention permit à Pascal de mettre progressivement en place « l’œuvre complète des coniques » qu’il annonçait en 1654, dans l'Adresse à l’Académie parisienne des savants. Jamais publiés par les héritiers de Pascal, ces travaux (qui avaient si vivement intéressé Leibniz à qui ils avaient été communiqués) sont malheureusement aujourd’hui sans doute définitivement perdus.

Dans les papiers de Leibniz, on a toutefois retrouvé une copie de la Generatio Conisectionum, dont on trouvera ci-dessous la traduction. On comprend bien l’essentiel : les coniques proprement dites (ellipse, hyperbole, parabole, cercle) et les coniques dégénérées (point, angle de droites, droite double), envisagées comme autant de projections du cercle générateur du cône sur un plan sécant, en sont autant d’apparences ainsi que le montre le jeu des correspondances projectives établies.

Procéder de cette manière impose au moins deux leçons : 1) l’introduction de points à l’infini est nécessaire pour ordonner le tableau complet des coniques (ainsi, pour que la parabole soit une image du cercle, il faut la considérer comme une ellipse se refermant sur elle-même à l’infini),

Corollaire

Si un plan coupant la surface conique engendre une hyperbole, toute droite qui coupe la circonférence du cercle et qui n’atteint aucun des deux points sans image, projette son image sur le plan de la section conique et cette image coupe la section en deux points. Mais si la droite atteint l’un ou l’autre des deux points sans image, son image coupera l’hyperbole en un seul point. Enfin, si cette droite joint les deux points sans image, son image ne sera pas dans le plan de la section conique, si ce n’est à distance infinie.

Corollaire

Les mêmes choses que ci-dessus étant données, si le plan du tableau engendre une antobole, toutes les tangentes à la circonférence projettent leur image sur le plan du tableau sous forme de tangentes à l’antobole en un point situé à distance finie.

Corollaire

Si le plan du tableau engendre une parabole, toutes les tangentes à la circonférence, à l’exception de celle qui atteint le point sans image, projettent leur image sur le plan' du tableau et ces images touchent la parabole en un point situé à distance finie, qui sera l’image du point de contact sur la circonférence.

Scholie

Il y a donc sur la parabole une droite manquante (recta deficiens) qui se comporte vraiment comme.une tangente puisqu’elle est l’image d’une tangente.

Corollaire

Si le plan du tableau engendre une hyperbole, toutes les tangentes à la circonférence projettent leur image sur le plan du tableau, même si elles atteignent l’un des points sans image. En effet, si ces tangentes n’atteignent pas ces points sans image, leurs propres images touchent l’hyperbole en un point situé à une-distance finie. Et si les tangentes sont menées d’un point sans image, leurs images n’atteindront pas l’hyperbole sinon à une distance infinie et elles seront alors parallèles à l’un ou l’autre des « rayons » (alteruteri radiorum).