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Notes de cours: LES MATHÉMATIQUES.

Publié le 25/10/2009

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Le mathématicien construit ses notions, parvient à rattacher à leurs fondements logiques les vérités qu'il découvre, n'admet d'autre évidence que rationnelle.
L'objet des mathématiques semble donc appartenir à l'essence même de l'esprit, et ne le point contraindre. En fait, il est nature, mais nature si abstraite que la pensée peut le connaître en raisonnant selon ses propres lois. Satisfait par cette reconstruction parfaite, l'homme a toujours rêvé d'étendre à toutes sciences la méthode mathématique. Mais le concret ne se laisse point pénétrer de la sorte: l'esprit, pour le saisir, doit renoncer à sa liberté, et se plier à l'expérience.
 
A. Objet des mathématiques. 
               En prenant le mot "grandeur" en son sens le plus général (on entend par grandeur, tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution, aussi bien un nombre qu'une portion d'espace), on peut dire que les mathématiques sont la science des grandeurs.
En ce sens, les mathématiques apparaissent comme les plus abstraites et les plus générales des sciences. La logique formelle (qui traite des concepts, des jugements et des raisonnements indépendamment de leur contenu, et qui pourrait ainsi paraître plus générale encore) n'est pas science à proprement parler. Elle n'étudie pas ce qu'il y a de plus général dans les choses, mais la pensée elle-même. Aussi, prend-elle un caractère normatif: son but est de déterminer les conditions de la pensée juste. Elle appartient à la philosophie.

« et non de l'expérience (possible).

Ainsi, Henri Poincaré , ayant déclaré que la géométrie a pour objet "certaines solides idéaux" , ajoute: "La notion de ces corps idéaux est tirée de toutes pièces de notre esprit, et l'expérience n'est que l'occasion qui nous engage à l'en faire sortir" .

L'expérience, en effet, ne nous présente ni point mathématique, ni droite, ni nombres infinis dans leur absoluité: ces notions sont engendrées par l'esprit; etpar là même, parviennent à atteindre des vérités universelles, nécessaires et certaines (alors que les sciencesphysiques soumises à l'expérience, ne peuvent parvenir à la certitude).

Selon les empiristes , au contraire, l'esprit livré à lui-même, n'engendrait rien.

Les notions mathématiques ont été tirées de l'expérience.

Celle-ci nous propose l'image d'un corps: en considérant, parabstraction, son contenu, nous aurons une figure géométrique.

L'expérience nous présente une pluralité d'objets; enconsidérant, par abstraction, leur multiplicité, nous parviendront à l'idée de nombre.

Les conceptions rationalistes et empiristes paraissent contenir chacune une vérité.

Il est vrai que lareconstruction du réel selon l'esprit (qui est le propre de toute science) est, en mathématique, poussée si loin quetout y paraît issu de l'esprit.

Mais, il n'en a pas toujours été ainsi.

Les premiers objets mathématiques, ce furent lesfigures géométriques (triangles, rectangles,...) que l'on peut toucher et voir, et sur lesquels s'exerçaient l'actionhumaine.

L'arithmétique fut d'abord un ensemble de règles de calcul (le système semble y provenir de ce quel'homme compta d'abord sur ses dix doigts.

Les mathématiques eurent donc avant tout pour objet la mesure desgrandeurs données par l'expérience: leur découverte fut inséparable de l'effort fait par l'homme pour connaître lemonde en vue de l'action pratique et pragmatique.Mais, l'homme s'est élevé à des conceptions de plus en plus abstraites.

Considérant à part le contour des corps,puis une surface indépendamment de toute épaisseur, une ligne indépendamment de toute largeur, rectifiant sesnotions (il n'existe pas dans la nature de cercles parfaits), les combinant parfois pour en créer de nouvelles (ainsi lepolygone à mille côtés), il est parvenu à reconstruire selon ses exigences des figures pures de l'espace.

Considérant,par abstraction, le fait qu'un objet est susceptible d'augmentation ou de diminution, il est parvenu à la notion degrandeur; puis en retenant, dans la grandeur que le fait d'être mesurable, il l'a ramené à la notion de quantité.Il est arrivé ainsi à des notions simples entre lesquelles il a établi des rapports constants et clairs, des lois devariation corrélatives.

Il a même amené ces notions à leur limite (idée d'infini), il les a transformées de telle sortequ'elles ne répondent plus à aucune réalité expérimentale (ainsi, par une série d'abstraction et de constructions, ils'est élevé successivement aux notions de nombre entier, de nombre fractionnaire, de nombre irrationnel, de nombrenégatif, de nombre relatif ou algébrique, de nombre imaginaire.

L'homme a donc fait sortir du monde donné un monde conforme à la nature de son esprit: c'estpour cela que les définitions mathématiques semblent émaner de la seule activité créatrice de l'esprit, etprocèdent par reconstruction mentale, selon des lois que l'esprit lui-même a posées.

Les définitions mathématiques paraissent en ce sens comme des conventions.

Mais, les notions qu'ellesengendrent n'en portent pas moins la marque de leur origine expérimentale.

Les définitions mathématiquessupposent, en effet, certains matériaux: l'unité en ce qui concerne le nombre, l'espace en ce qui concerne lesfigures. Ces matériaux sont des données pures (de notre entendement dira Kant ).

Ils ne peuvent être conçus que par une intuition passive, une constatation.

C) Axiomes et postulats mathématiques. Le raisonnement mathématique est déductif: il est donc pleinement nécessaire, et s'opère selon les loisde notre raison.

Autrement dit, le raisonnement mathématique est basé sur des axiomes . Ils sont des propositions générales et s'appliquant à toutes les grandeurs; indémontrables, mais exprimant desrapports logiquement nécessaires : les axiomes sont donc évidents, ils s'imposent à notre raison, ils ne sont que l'expression de sa loi essentielle: le principe d'identité, qu'ils traduisent en langage mathématique, (ainsi, deuxquantités égales à une troisième sont égales entre elles).

On admet généralement que les axiomes sont posés à labase même des mathématiques.

En fait, ils interviennent sans cesse et de façon presque inconsciente, dans ladémonstration.

Des définitions et des axiomes, on a longtemps distingué les postulats; on appelle ainsi des propositionsqui, comme les axiomes sont indémontrables, mais que l'on ne peut prendre pour fondement de la démonstration endemandant à l'auditeur s'il les admet: les postulats , en effet, ne sont pas évidents à la raison .

En outre, ils sont spéciaux, et ne s'appliquent qu'à certaines grandeurs .

Ainsi, le postulat d' Euclide déclare que par un point on ne peut mener une parallèle et une seule.

Les postulats, n'étant pas logiquement nécessaires, peuvent être rejetéssans contradiction: certaines géométries telles que celle de Lobatschevski et Reimann , ont refusé le postulat d'Euclide et fondé par là même des géométries non-euclidiennes. Que les postulats, introduisent des affirmations non évidentes et non démontées, semblent enlever à lacertitude mathématique, son caractère absolu.

La certitude mathématique demeurera formelle et hypothétique (laseule chose que nous pourrons affirmer, c'est que les conclusions de nos déductions seront vraies que si lesprincipes le sont).

Les mathématiques ne porteront que sur des connexions logiques, idéales; leur vérité neconsistera point dans leur accord avec le réel, mais dans leur cohérence interne.

On peut estimer, au contraire, que les postulats ont pour but de nous permettre d'établir une science enaccord avec le réel.

L'espace d' Euclide nous demande d'admettre un espace à trois dimensions, homogène, isotrope et sans courbure; et cet espace semble contenir et définir notre expérience quotidienne.Aussi, les postulats euclidiens paraissent-ils avec une certaine évidence, non une évidence rationnelle, mais uneévidence sensible.

Les postulats sont vérifiés comme des hypothèses relatives à la nature de l'espace réel.. »

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