Qu'est-ce que les mathématiciens entendent par hypothèse ? En ce sens, à quoi sert l'hypothèse ? Peut-on établir une analogie entre l'hypothèse ainsi comprise, et l'hypothèse telle que la comprennent les physiciens ?

Le plan s'impose pour ainsi dire de lui-même : 1. Définition; 2. Usage; 3. Recherche, pour appuyer la comparaison, des formes de pensée qui en mathématiques rappellent l'hypothèse physique et examen des différents emplois de l'hypothèse mathématique pour en donner le caractère définitif. Le premier point est donné par les habitudes constantes du langage des mathématiciens. Le second se retrouvera par application des idées résumées ci-dessus. Pour le troisième, si le théorème, une fois établi, se compare à la loi, je théorème proposé est comme l'hypothèse physique (rapprocher l'idée de postulat) : d'où il apparaît que la position logique est toute différente en ce qui concerne l'hypothèse au sens mathématique et l'hypothèse au sens physique : la définition que l'on aura donnée de l'usage de la première le montrera immédiatement. Mais on arrivera à une interprétation plus pénétrante en comparant l'usage de l'hypothèse (sens mathématique) dans la démonstration synthétique et dans la démonstration analytique soit directe, soit par l'absurde, parce qu'alors elle apparaîtra comme une tentative que fait la pensée pour chercher le logiquement possible. Et cela conduit finalement à l'idée d'une sorte d'expérience mathématique qui confirme les hypothèses. L'introduction, comme dans tous les cas où il faut aboutir à une définition, se fera par une première description.

Introduction. — Le mathématicien propose au début de sa démonstration certaines énonciations, et il demande qu'elles soient admises (insister sur la signification du mot « soit « : soit le triangle...); de même un problème suppose certaines données (par ex. : « par trois points non en ligne droite... «) : hypothèse. I (Définition). — On appelle donc ainsi l'ensemble des éléments que le mathématicien se donne comme départ de la démonstration. Ces énonciations impliquent souvent des définitions (« soit le triangle... «); ou bien elles définissent un type plus spécial (par ex. des triangles qui ont un angle égal entre des côtés égaux chacun à chacun) : l'hypothèse équivaut donc à une définition, mais convenant uniquement à la démonstration présente. C'est la position d'un type dont on se définit les éléments. On ne cherche pas s'il a une valeur en dehors de la pensée. On le propose, comme point de départ.