Mathématique et expérience

« -II- J,.es objets mathématiques sont issus de l'expérience.

La thèse empiriste a été soutenue par tous les sensualistes et notam­ ment par John Stuart Mill aa XIX• siècle : elle se fonde sur le fait que l'expérience nous fournit des images mathématiques (ligne de l'horizon, cercle de la lune ou des pupilles, etc.), sur le fait que l'his­ toire des mathématiques montre qu'elles furent d'abord pratiques et techniques, et enfin sur le fait que les problèmes les plus ardus des mathématiques ont eu un point de départ concret (Exemple: calcul des probabilités et jeux du hasard).

- III - L'expérience est déjà mathématisée.

Selon Kant,les sciences mathématiques expriment les rapports à priori qui consti­ tuent l'intuition pure.

Cette formule doit être bien comprise.

Pour Kant, la conscience percevante est structurée, c'est-à-dire qu'elle a des formes a priori ; nous percevons en fonction de ces exigences internes de la sensibilité qui sont au nombre de deux : l'espace et le temps.

L'espace et le temps ne sont donc pas des " milieux " exté­ rieurs, ils n'existent que pour la perception humaine, ce sont les formes a priori de la conscience humaine dans son acte de percev01r, c'est-à-dire, en termes kantiens, dans son intuition sensible.

Les mathématiques sont fondées sur ces formes a priori même : la géométrie est la science de l'espace pur et l'arithmétique est la science du nombre qui est lui-même le schème de l'intuition pure du temps.

On peut donc dire : «L'objet de la science mathématique est la structure de l'intuition pure •· Comme cette intuition est perception active du réel, et comme l'espace et le temps sont sur le plan de l'expérience (puisque l'expérience n'est pas autre chose que l'ensemble des perceptions humaines), il n'est pas étonnant que les mathéma­ tiques paraissent sortir de l'expérience ou s'y ré-insérer avec facilité.

- IV - Dans la science mathématique définie comme hypothético-déductive, il n'y a pas de vérité.

C'est la conception nominaliste ou de ce qu'on appelle l'axiomatique.

Dans la formule ci-dessus, le mot« vérité »est mis pour« réalité »(et c'est pourquoi la discussion de cette conception est dans le chapitre Mathématiques et expérience).

1 -L'axiomatique.

On avait cru (Leibniz, Kant, etc.) que certaines propositions mathématiques étaient des évidences soit expérimen­ tales (par deux points il ne passe qu'une droite), soit de la logique (si A = B, A + C = B + C).

Les logiciens modernes ont montré que toutes les propositions de base des mathématiques, qu'elles soient axiomes, postulats ou définitions étaient somme toute arbitraires, puisqu'on pouvait construire des géométries cohérentes avec d'autres propositions de base.

C'était par conséquent faire de toutes ces propositions autant de « postulats "· Ce dernier mot étant difficile à manipuler, on employa à sa place le mot axiome (d'où axiomatique, axiomatisation, etc.).. »