Sciences & Techniques: L'histoire de l'algèbre

« l'inconnue que nous, nous notons x.

Moderne, non ? Au point que les équations de Diophante sont un des très rares domaines desmaths antiques qui fassent encore de nos jours l'objet de recherches pointues ! Les cavaliers de l'Islam Diophante le météore disparaît, Alexandrie la merveilleuse s'éteint, les conquérants passent et repassent.

Et puis les Arabes déferlentcomme une tornade sous l'étendard vert de l'Islam.

En quelques années, de 634 à 711, ils bâtissent un immense empire qui s'étendde l'Inde aux Pyrénées.

Au début, leurs nouveaux sujets se moquent d'eux.

Pensez donc : avec leurs chameaux, leurs sabrescourbes et leurs mœurs brutales de nomades, ils n'ont rien pour impressionner les intellectuels raffinés d'Égypte, de Syrie et deMésopotamie, héritiers de 4000 ans d'histoire.

Pourtant, au bout d'un siècle, vers l'an 800, un " miracle " se produit.

Le mariage de laconquête arabe, de la religion musulmane et des vieux peuples du Moyen-Orient engendre une civilisation nouvelle qui va briller de tous ses feux pendant 4 siècles. Tout commence avec le déménagement de la capitale de l'empire arabe à Bagdad, une ville fondée en 762 sur le fleuve Tigre.

Initiativeheureuse mijotée par une nouvelle dynastie de califes, les Abbassides.

Au premier rang desquels le grand al-Ma'moun (813-833), quin'est autre que le fils de Haroun al-Rachid, le célèbre personnage des Mille et une nuits.

Et les maths, direz-vous ? Attendez, ellesvont resurgir… Le décor, c'est Bagdad.

La ville est le centre du monde, de l'an 800 à l'an 1200 pour faire rond.

Rien ne peut lui être comparé, sauf Rome et Alexandrie de la grande époque.

Une ville énorme : un million et demi d'habitants, 10 000 rues, des milliers de bains publics,de magasins, de fabriques, de mosquées, d'écoles, de bibliothèques ! Du jamais vu.

Tout circule, les hommes, les marchandises, lescaravanes, les navires, l'argent, les idées.

Et d'autant plus vite que les Arabes ont connu le papier bien avant l'Occident, un matériaubeaucoup moins cher que le parchemin. Philosophes, poètes, géographes, astronomes, médecins de Bagdad créent, découvrent, inventent à tour de bras.

Le calife al-Ma'moun, fin lettré, leur donne des moyens.

Il a de quoi : ses revenus sont cinq fois supérieurs à ceux de son rival d'alors, l'Empirechrétien de Byzance ! Il fonde une institution unique en son genre, Bayt al-hikma, la " Maison de la Sagesse ", une sorte de miniCNRS. De là, des centaines de copistes et de traducteurs partent à la chasse aux manuscrits scientifiques grecset indiens : une partie de la culture antique sera sauvée à Bagdad, comme la fameuse géométried'Euclide.

Et puis, un jour, dans la " Maison de la Sagesse ", un tout petit livre de mathématiques estpublié… L'invention de l'algèbre Son titre déjà est une nouveauté : Le livre abrégé du calcul par l'al-jabr et la muqabala .

C'est la première fois que le mot al-jabr, qui a donné notre " algèbre ", apparaît en mathématiques.

son auteur s'appelle al-Khwarizmi (788- 850), un membre de la " Maison de laSagesse ".

Les deux mots algèbre et muqabala servaient, dans la vie quotidienne, à désigner deux actions (ou deux opérations) bienprécises : al-jabr signifie réparation, et muqabala, comparaison.

Par réparation, entendez " remise en place ", bricolage d'une équation: on change de membre les expressions négatives pour les rendre positives. Mais la nouveauté n'est pas là.

Elle est dans l'idée suivante : al-Khwarizmi avait remarqué que tous les problèmes auxquels sesprédécesseurs avaient trouvé des solutions exactes se ramenaient en fait à six équations.

Il suffisait de les étudier pour elles-mêmeset d'en donner, une fois pour toute, la méthode de résolution.

Ces équations dites " canoniques " serviront ensuite de modèles qu'onappliquera à tous les problèmes.. C'est du moins ce qu'ont cru les successeurs d'al-Khwarizmi en inventant des problèmes de plus en plus compliqués.

L'une de cesgrosses têtes, un Persan de Bagdad du nom d'al-Mahani, s'attaque ainsi à une vieille énigme de l'époque d' Archimède : comment couper une sphère par un plan de telle sorte que les volumes des deux parties soient dans un rapport donné ? Al-Mahani exprime leproblème sous forme d'une équation du 3ème degré : x 3 + c = ax 2.

Il cherche à la résoudre avec les méthodes connues.

Rien n'y fait. Il décrète alors que l'équation est impossible.

Or ce n'est pas la seule équation de ce type.

On en connaissait exactement 14 de degréinférieur ou égal à trois et qu'on ne pouvait pas ramener aux six " canoniques " d'al-Khwarizmi.

Que faire ? Ce cuisant échec ne décourage pas les algébristes arabes.

L'un d'eux, al-Khazin, a une intuition géniale : il cherche la solution duproblème de la sphère dans l'intersection de deux courbes.

Et il démontre que cette solution correspond à l'intersection d'un cercle etd'une hyperbole. Après lui vient le Persan Omar Khayyam qui publie un livre de maths dans lequel il présente une solution aux 14 équations du 3èmedegré.

Mais quelle que soit la valeur de cet exploit scientifique, ce n'était pas vraiment de l'algèbre car Khayyam utilisait la géométrie,notamment les intersections de coniques. Le suspense restait entier : pouvait-on, oui ou non, trouver une méthode semblable à celle d'al-Khwarizmi, et qui permette d'exprimerles solutions d'une équation du 3ème degré ? La réponse attendra longtemps.

Elle ne viendra pas de Bagdad la lumineuse, détruite en1258 par les hordes mongoles.

Elle viendra d'un nouveau " miracle " historique, européen celui-là.. »