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Les principes à partir desquels s'est construite la science mathématique ne sont-ils que des conventions arbitraires ?

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INTRODUCTION - Par opposition aux sciences expérimentales, dont l'objet est contingent, et qui, par suite, aboutissent à des lois contingentes, les mathématiques ont passé pendant longtemps pour la science du nécessaire : ne partent-elles pas, disait-on, de principes nécessaires et les conséquences qui en sont déduites n'en découlent-elles pas rigoureusement ? De nos jours, on tendrait à retourner la comparaison. Le monde qu'étudient le physicien et le chimiste, s'il n'est pas nécessaire en lui-même, s'impose du moins à eux et ils n'ont pas la faculté d'en créer un autre à leur fantaisie. Cette faculté est donnée, au contraire, au mathématicien qui se donne l'objet de son étude; dans cette branche, le savant jouirait de la plus entière indépendance et les bases de départ dépendraient de son libre choix. Que faut-il penser de cette conception ? Les principes à partir desquels s'est construite la science mathématique ne sont-ils que des conventions arbitraires ? I. Si nous prenons la question à la lettre, nous pouvons répondre, sans hésiter, par la négative : ce n'est pas à partir de conventions arbitraires que la science mathématique s'est construite en fait ou historiquement. A. Sans doute, philosophes et savants discutent sur l'origine des principes, c'est-à-dire des propositions que le mathématicien formule au départ de son étude (définitions, axiomes, postulats) et qui servent de fondement à tout son édifice.

« les Idées platoniciennes, et les idées innées sont la vérité absolue ou une participation à cette vérité. Pour Kant, sans doute, notre représentation de l'espace et du temps est relative à notrefaculté de représentation sensible; mais il n'en reste pas moins que l'espaceeuclidien est le seul espace possible pour nous; il s'impose au mathématiciencomme à tout homme, et les postulats qui déterminent les propriétésessentielles de cet espace ne résultent point d'une convention arbitraire. Qu'est-ce qu'une forme pure de l'intuition ? Tout d'abord que faut-il entendre par « intuition » chez Kant ? Le début de la première partie de la « Critique de la raison pure », intitulé « Esthétique transcendantale », permet déjà de répondre : « De quelque manière et par quelque moyen qu'une connaissance puisse se rapporter à des objets, lemode par lequel elle se rapporte immédiatement aux objets et auquel tendtoute pensée comme au but en vue duquel elle est le moyen est l'intuition ». Kant ajoute que l'homme ne peut intuitionner que ce qui lui est donné, c'est- à-dire présenté du dehors par ses sens. L'objet de l'intuition doit nousaffecter, c'est-à-dire produire sur l'esprit un effet (« les objets frappent nos sens »). La possibilité de cette affection ainsi que cette affection elle-même définissent pour Kant la sensibilité. Toute intuition humaine, faculté par laquelle les objets nous sont donnés, est sensible. L'objet de l'intuition c'est le phénomène. Le phénomène est défini par Kant comme « l'objet indéterminé d'une intuition empirique ». « Indéterminé » dans la mesure où, immédiatement appréhendé, le phénomène désigne l'impression produite en nous par un divers sensible, sans que nous sachionsencore ce qu'est ce divers. Cependant ce que nous voyons, sentons, n'est pas seulement une matière brute ; unphénomène a bien déjà une matière, mais il a aussi une forme. Dès qu'il y a intuition sensible, il y a coordination dessensations, rapports entre celles-ci (« le phénomène est coordonné dans l'intuition selon certains rapports »). Or ces rapports constituent précisément la forme du phénomène, « forme toute prête à s'appliquer à tous ». Cette forme qui structure le divers sensible n'est pas abstraite des objets eux-mêmes, mais constitue la conditionde leur apparaître. Sans elle, le divers sensible serait un chaos. Dans la mesure où cette forme est différente de lamatière de la sensation, elle peut être dite « pure ». On parlera alors de « forme pure de la sensibilité » ou de l'intuition. Cette forme est double. En effet, les phénomènes sont coordonnés selon des rapports à la fois spatiauxet temporels. Les deux formes pures de l'intuition sont donc l'espace et le temps. Les intuitions pures, l'espace et le temps, sont des conditions de possibilité qui existent a priori dans l'esprit, c'est-à-dire sans le secours de l'expérience. L'a priori désigne pour Kant ce qu'il y a, dans notre faculté de connaissance, d'universel et de nécessaire, ce qui fonde l'expérience sans être lui-même un objet d'expérience. L'espace et letemps sont donc des conditions a priori qui coordonnent (ordonnent et lient) les phénomènes selon des rapports,rapports qui ont pour fonction d'ouvrir une perspective pure sur ce qui se présente à la sensibilité. L'espace et le temps sont des conditions subjectives. L'espace est défini comme « forme du sens externe », au moyen duquel « nous nous représentons des objets comme hors de nous ». Ce qui caractérise donc le spatial est l'extériorité. Le temps quant à lui est défini comme « forme du sens interne », par lequel l'esprit s'intuitionne lui-même et ordonne ses représentations selon l'ordre de la succession. L'espace et le temps ne sont pas des contenus d'expérience (c'est en cela qu'ils ne peuvent apparaître et ne sontpas eux-mêmes des phénomènes). Ils sont des représentations nécessaires qui servent de fondement a priori àtoutes les intuitions. L'espace et le temps pourraient être vidés de tout leur contenu sans qu'ils soient suppriméscomme conditions nécessaires (on peut se représenter un espace et un temps vides, mais non l'absence de toutespace et de tout temps). D'autre part, si l'espace et le temps ne sont pas des objets d'expérience, ils ne sont pas non plus des concepts, ils ne sont pas construits par abstraction. La représentation de l'espace et du temps estreprésentation immédiate d'une unité individuelle, c'est en cela que cette représentation est une intuition. Enfin,l'espace et le temps ne sont pas des substances (réalités indépendantes qui peuvent subsister par soi en dehors denotre mode d'intuition). Ils n'appartiennent pas aux choses mêmes, mais sont les conditions nécessaires, pour lessujets finis que nous sommes, de la réception des objets sensibles. En dehors de notre subjectivité, l'espace et letemps ne sont rien. Ils n'ont de validité que pour notre mode propre d'intuition. Cela ne signifie pas pour autant quel'espace et le temps n'existent pas. Toute objectivité de la connaissance est nécessairement fondée sur lesconditions subjectives que sont l'espace et le temps. Il s'ensuit que Kant résout le problème de l'existence du temps en prouvant sa validité pour un sujet fini (qui reçoit les objets du dehors, sans pouvoir se les donner de lui-même àlui-même) tout en niant le statut substantiel de cette existence. Le temps est la forme de tous les phénomènes. Les phénomènes spatiaux (appréhendés par le sens externe), en tant qu'ils sont représentés, forment médiatementdes contenus de conscience qui s'enchaînent selon des rapports temporels dans le sens interne : « Tous les phénomènes en général, c'est-à-dire tous les objets des sens, sont dans le temps et sont nécessairement soumis »

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